Proportionalität

Euklid, Elemente Buch V, Definitionen 3–6.

Definition 5 lautet:

Definition 6:

Eine proportionale Funktion ist eine homogene lineare Zuordnung zwischen Argumenten ${\displaystyle x}$ und ihren Funktionswerten ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle y=m\cdot x}$

mit einem konstanten Proportionalitätsfaktor ${\displaystyle m}$. Dabei ist der Faktor ${\displaystyle m=0}$ nicht sinnvoll.

Da es bei Proportionalität gleichwertig ist, ob die Größe ${\displaystyle y}$ aus der Größe ${\displaystyle x}$ durch Multiplikation mit einem immer gleichen Faktor hervorgeht, oder umgekehrt ${\displaystyle x}$ aus ${\displaystyle y}$, gilt ferner

${\displaystyle x={\frac {1}{m}}\cdot y}$ ;

dabei ist der Faktor ${\displaystyle m=0}$ unzulässig.

Zwei Variable, für die das Verhältnis zusammengehöriger Werte ${\displaystyle x_{i}}$ und ${\displaystyle y_{i}}$ konstant ist, heißen proportional zueinander[1]

${\displaystyle {\frac {y_{i}}{x_{i}}}=m}$ .

Proportionalität liegt demnach genau dann vor, wenn dieses Verhältnis ${\displaystyle m}$ konstant ist; wenn es reell ist, kann es positiv oder negativ sein.

Funktionsgraph für einen proportionalen Zusammenhang

Die Tabelle gibt die Masse verschiedener Volumina von Öl an:

Volumen ${\displaystyle x}$ in m3	Masse ${\displaystyle y}$ in t
1	0,8
3	2,4
7	5,6

Die drei Wertepaare sind im Bild (rechts) als Punkte markiert. Berechnet man den Quotienten ${\displaystyle y/x}$, Masse/Volumen, so erhält man stets denselben Wert 0,8 t/m³. Allgemein gibt der Quotient ${\displaystyle y/x}$ die Steigung der Geraden an und ist zugleich der Proportionalitätsfaktor der Zuordnung, hier mit der Bedeutung der Dichte des Öls. Auch der umgekehrte Quotient ${\displaystyle x/y}$ ist eine Proportionalitätskonstante, in diesem Fall mit der Bedeutung des spezifischen Volumens. Im Beispiel erhält man

Volumen/Masse = 1,25 m³/t

Wird an einem Draht mit einer Kraft ${\displaystyle F}$ gezogen, so ergibt sich bei elastischem Verhalten eine Dehnung ${\displaystyle \varepsilon }$ in Längsrichtung

Formänderung eines Drahtes, wenn an ihm gezogen wird. (Um die Änderungen ${\displaystyle \Delta l}$ und ${\displaystyle \Delta D}$ anschaulich zu machen, sind sie deutlich überhöht gezeichnet.)

${\displaystyle F=E\cdot A\cdot \varepsilon }$

mit der Querschnittsfläche ${\displaystyle A}$ und der Proportionalitätskonstanten ${\displaystyle E}$ (Elastizitätsmodul). Dehnung bedeutet, dass sich die Länge ${\displaystyle l}$ des Drahtes um ${\displaystyle \Delta l}$ ändert, ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {\Delta l}{l}}}$.

Mit der elastischen Längsdehnung verbunden ist bei einem homogenen isotropen Material eine Querkontraktion, durch die sich sein Durchmesser ${\displaystyle D}$ um ${\displaystyle \Delta D}$ ändert

${\displaystyle {\frac {\Delta D}{D}}=-\nu \cdot {\frac {\Delta l}{l}}}$

mit der Proportionalitätskonstanten ${\displaystyle \nu }$ (Poissonzahl).

Das Minuszeichen bedeutet: Bei einer Vergrößerung der Länge (positives ${\displaystyle \Delta l}$) verkleinert sich der Durchmesser (negatives ${\displaystyle \Delta D}$).