Parallelität (Geometrie)

Parallelenaxiom

Konstruktion der Parallele durch ${\displaystyle P}$ mit Zirkel und Lineal durch Konstruktion einer Raute ${\displaystyle P,A,B,C}$

In der ebenen euklidischen und affinen Geometrie gilt:

• Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es genau eine Gerade, die zur gegebenen Geraden parallel ist und durch den gegebenen Punkt geht (die Parallele durch diesen Punkt).

Diese Aussage wird das Parallelenaxiom genannt, da sie bei einem axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie als Axiom benötigt wird. In der analytischen Geometrie (Geometrie in euklidischen Vektorräumen) ist sie hingegen beweisbar (also ein Satz). In affinen Räumen beliebiger Dimension gilt:

• Die Beziehung „parallel“ zwischen Geraden bildet eine Äquivalenzrelation, die Geraden lassen sich also aufteilen in Äquivalenzklassen zueinander paralleler Geraden. Eine solche Äquivalenzklasse wird als Parallelenschar bezeichnet und bildet ein spezielles Büschel.
• Fügt man einem affinen Raum für jede Parallelenschar einen "unendlich fernen" (auch "uneigentlichen") Punkt (Fernpunkt) hinzu, in dem sich dann je zwei Geraden der Schar schneiden, erhält man einen projektiven Raum als projektiven Abschluss des affinen Raumes.

In der euklidischen Geometrie gilt ferner bei beliebiger Dimension des Raumes:

• Bei parallelen Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ ist der Abstand aller Punkte von ${\displaystyle g}$ zur Geraden ${\displaystyle h}$ konstant (und umgekehrt), die Geraden sind also immer gleich weit voneinander entfernt. Entsprechendes gilt für parallele Ebenen.

Außerhalb der euklidischen Geometrie gilt: Ersetzt man das Parallelenaxiom durch die Forderung Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf der Geraden liegt, gibt es mindestens zwei Geraden durch den Punkt, welche die gegebene Gerade nicht schneiden, so erhält man eine nichteuklidische Geometrie, nämlich die hyperbolische.

In einem ${\displaystyle n}$-dimensionalen affinen Raum ${\displaystyle A}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ können affine Teilräume ${\displaystyle A_{1},A_{2}}$ als Nebenklassen von linearen Teilräumen ${\displaystyle U_{1},U_{2}<K^{n}}$ des zu ${\displaystyle A}$ gehörenden Koordinatenvektorraums beschrieben werden. Dann ist ${\displaystyle A_{1}=P_{1}+U_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}=P_{2}+U_{2}}$. Man definiert nun:

• Die Räume ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ sind parallel, wenn ${\displaystyle U_{1}\subseteq U_{2}}$ oder ${\displaystyle U_{2}\subseteq U_{1}}$ gilt.

Allein mit geometrischen Begriffen kann Parallelität gleichwertig so definiert werden:

• Die Räume ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ sind parallel, wenn es eine Parallelverschiebung ${\displaystyle \tau }$ des affinen Raumes ${\displaystyle A}$ gibt, so dass ${\displaystyle \tau (A_{1})\subseteq A_{2}}$ oder ${\displaystyle A_{2}\subseteq \tau (A_{1})}$ gilt.

Vektoriell geschrieben entspricht ${\displaystyle \tau }$ einem Verschiebungsvektor ${\displaystyle {\vec {v}}\in K^{n}}$ (es kann zum Beispiel ${\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}}$ aus der ersten Darstellung gewählt werden) und die Aussage lautet dann

• Die Räume ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ sind parallel, wenn es eine Verschiebung ${\displaystyle {\vec {v}}\in K^{n}}$ gibt, so dass ${\displaystyle A_{1}+{\vec {v}}\subseteq A_{2}}$ oder ${\displaystyle A_{2}\subseteq A_{1}+{\vec {v}}}$ gilt.

Meistens wird diese sehr allgemeine Definition auf affine Teilräume beschränkt, die mindestens eindimensional sind, da sonst im Sinne der Definition die leere Menge und einpunktige Mengen zu jedem beliebigen Teilraum parallel wären.[4]

Parallele Geraden und Kurve

Die Idee des parallelen Verlaufs wird auch in anderen Situationen verwendet, wobei meist die Charakterisierung durch den konstanten Abstand übertragen wird.

• Bei einer Parallelverschiebung wird jeder Punkt um einen „konstanten Betrag in dieselbe Richtung“ verschoben

(in Vektorräumen: ${\displaystyle x\mapsto x+a}$).[5][6]

Somit können auch Strecken und Halbgeraden parallel zueinander verlaufen, obwohl diese Sonderfälle durch die euklidische Definition nicht erfasst sind.

• Eine Parallelkurve zu einer ebenen Kurve erhält man, indem man in jedem Punkt der Kurve einen konstanten Betrag in Richtung der Normalen in diesem Punkt aufträgt.

(für eine Kurve ${\displaystyle \gamma (s)\in \mathbb {R} ^{2}}$ sind das die Kurven ${\displaystyle \gamma (s)\pm an(s)}$, wenn ${\displaystyle n(s)}$ der normierte Normalvektor zu ${\displaystyle \gamma (s)}$ ist).[7]

(Beispiel: konzentrische Kreise)

• Einen Parallelkörper zu einem (abgeschlossenen) konvexen Körper erhält man, wenn man den Körper "um r vergrößert", d. h., alle Punkte hinzufügt, deren Abstand kleiner oder gleich r ist, indem man die Vereinigung aller Kugeln mit Radius r bildet, deren Mittelpunkt in dem Körper liegt.[8]

(In Vektorräumen: ${\displaystyle K+B_{r}=\{x+y\mid x\in K,y\in B_{r}\}}$, wobei ${\displaystyle B_{r}=\{y\mid \left\|y\right\|\leq r\}}$ die Kugel mit Radius r um den Ursprung ist.)

• Zwei Vektoren, welche genau in zueinander entgegengesetzte Richtung zeigen, sind antiparallel.[9]
• In Laguerre-Ebenen und Minkowski-Ebenen gibt es parallele Punkte. Das sind Punkte, die nicht durch einen Zykel (Parabel bzw. Hyperbel) verbunden werden können.

In der endlichen Geometrie wird das Konzept der Parallelität (als Äquivalenzrelation) in allgemeinerer Form auch für Blockpläne definiert. Endliche affine und projektive Geometrien können als spezielle Blockpläne aufgefasst werden. Die Einteilung der „Geraden“, die in der endlichen Geometrie auch als „Blöcke“ bezeichnet werden, in „Parallelenscharen“ wird in der Theorie der Blockpläne zum Konzept der Auflösung eines Blockplans verallgemeinert. Eine weitere Verallgemeinerung der Auflösung ist das Konzept der taktischen Zerlegung.

Andere Lagebeziehungen von Geraden sind:

• Kopunktalität
• Orthogonalität
• Komplanarität
• Antiparallelität

1. Manfred Andrie, Paul Meier: Lineare Algebra und Geometrie für Ingenieure: Eine anwendungsbezogene Einführung mit Übungen. Springer, 3. Auflage, 2013, ISBN 9783642957987, S. 202
2. Ebenenparallelität. Abgerufen am 17. November 2012.
3. Parallelität von Vektoren. Abgerufen am 17. November 2012.
4. Affine Geometrie – Vorlesung der Uni Jena. (PDF; 94 kB) Abgerufen am 17. November 2012.
5. Translation. WolframMathWorld, abgerufen am 17. November 2012 (englisch).
6. Vier Arten der Symmetrie. Abgerufen am 17. November 2012.
7. Parallelkurven. Abgerufen am 17. November 2012.
8. Parallelkörper und konvexe Körper. Abgerufen am 17. November 2012.
9. Antiparallel. WolframMathWorld, abgerufen am 17. November 2012 (englisch).