Verkettungszeichen

Das Verkettungszeichen wird häufig als mathematischer Operator für die Hintereinanderausführung von Funktionen verwendet. Sind ${\displaystyle A,B,C}$ Mengen und ${\displaystyle f\colon A\to B}$ sowie ${\displaystyle g\colon B\to C}$ Funktionen, dann wird die Verkettung von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ durch

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$

notiert. Der Ausdruck „${\displaystyle g\circ f}$“ wird als „${\displaystyle g}$ verknüpft mit ${\displaystyle f}$“, „${\displaystyle g}$ komponiert mit ${\displaystyle f}$“, „${\displaystyle g}$ nach ${\displaystyle f}$“ oder „${\displaystyle g}$ Kringel ${\displaystyle f}$“ gelesen.[1][2][3] Bei der Notation ist darauf zu achten, dass die Komposition ${\displaystyle g\circ f}$ von rechts nach links durchgeführt wird, das heißt erst ${\displaystyle f}$ und dann ${\displaystyle g}$ angewandt wird. Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und ${\displaystyle (f\circ g)(x)=g(f(x))}$ geschrieben.

Allgemeiner wird das Verkettungszeichen als Operator für die Verkettung binärer Relationen verwendet. Sind wieder ${\displaystyle A,B,C}$ Mengen und ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ sowie ${\displaystyle S\subseteq B\times C}$ binäre Relationen, dann wird die Verkettung von ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ durch

${\displaystyle S\circ R=\{(a,c)\in A\times C\mid \exists ~b\in B:(a,b)\in R\land (b,c)\in S\}}$

notiert. Das Resultat nennt man Relationsprodukt oder relatives Produkt. Auch hier wird gelegentlich die umgekehrte Reihung ${\displaystyle R\circ S}$ verwendet.

In der theoretischen Informatik wird das Verkettungszeichen für die Konkatenation von Wörtern verwendet. Sind ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}$ und ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{k})}$ zwei Wörter über einem Alphabet, dann wird die Konkatenation von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ durch

${\displaystyle x\circ y=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{k})}$

notiert. Hierbei ist ${\displaystyle x}$ das Präfix und ${\displaystyle y}$ das Suffix des Resultats der Konkatenation. Die Konkatenation von Wörtern ist dabei ein Spezialfall einer Konkatenation von Mengen.

Noch allgemeiner wird das Verkettungszeichen manchmal neben den Zeichen ${\displaystyle \bullet }$, ${\displaystyle \ast }$ und ${\displaystyle \cdot }$ als Platzhalter für binäre Verknüpfungen allgemeiner algebraischer Strukturen eingesetzt.

Das Verkettungszeichen wird folgendermaßen definiert und kodiert: