σ-Ring

Der Durchschnitt ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}}$ zweier σ-Ringe ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}$ über ${\displaystyle \Omega }$ ist stets wieder ein σ-Ring. Denn sind ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}}$, so ist

• ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{1}}$, da ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}_{1}}$, sowie
• ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{2}}$, da ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}_{2}}$.

Somit ist auch ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}_{1}\cap {\mathcal {R}}_{2}}$, der Durchschnitt der σ-Ringe ist also differenzstabil. Die Stabilität bezüglich der abzählbaren Vereinigungen folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von σ-Ringen über ${\displaystyle \Omega }$, da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser σ-Ringe ausweiten lässt. Somit gilt: Ist ${\displaystyle I}$ eine beliebige Indexmenge und sind ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ σ-Ringe über derselben Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$, so ist der Schnitt aller dieser σ-Ringe wieder ein σ-Ring ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{I}}$ über ${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{I}:=\bigcap _{i\in I}{\mathcal {R}}_{i}}$.

Die Vereinigung ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\cup {\mathcal {R}}_{2}}$ zweier σ-Ringe ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}$ über ${\displaystyle \Omega }$ ist im Allgemeinen kein σ-Ring mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden σ-Ringe

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}=\{\emptyset ,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}$

sowie

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}=\{\emptyset ,\{2\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}}$

über ${\displaystyle \Omega =\{1,2,3\}}$, so ist

${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\cup {\mathcal {R}}_{2}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}}$.

Dieses Mengensystem ist aber nicht vereinigungsstabil, da es ${\displaystyle \{1\}\cup \{2\}=\{1,2\}}$ nicht enthält, und somit auch kein σ-Ring.

Sind ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}$ σ-Ringe über ${\displaystyle \Omega _{1}}$ bzw. ${\displaystyle \Omega _{2}}$, so ist das Produkt ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}\times {\mathcal {R}}_{2}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {R}}_{2}}$ im Allgemeinen kein σ-Ring (über ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$) mehr. Denn betrachtet man den σ-Ring

${\displaystyle {\mathcal {R}}=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}$,

über ${\displaystyle \Omega =\{1,2\}}$, so enthält das Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}}$ sowohl die Mengen

${\displaystyle A=\{1,2\}\times \{1,2\}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}}$ als auch ${\displaystyle B=\{2\}\times \{2\}=\{(2,2)\}}$.

Die Menge

${\displaystyle A\setminus B=\{(1,1),(1,2),(2,1)\}}$

ist jedoch nicht in ${\displaystyle {\mathcal {R}}\times {\mathcal {R}}}$ enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ darstellen lässt. Das Produkt ist somit nicht differenzstabil und damit auch kein σ-Ring.

Die Spur eines σ-Ringes ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ bezüglich einer Menge ${\displaystyle U}$, also das Mengensystem

${\displaystyle {\mathcal {R}}|_{U}:=\{A\cap U\mid A\in {\mathcal {R}}\}}$

ist immer ein σ-Ring, unabhängig von der Wahl von ${\displaystyle U}$.

Ein σ-Ring, der die Grundmenge ${\displaystyle \Omega }$ enthält, ist eine σ-Algebra (und damit auch eine Algebra). Somit ist jede σ-Algebra ein σ-Ring, die Umkehrung ist aber im Allgemeinen falsch. Beispiel für einen σ-Ring, der keine σ-Algebra ist, ist der im obigen Abschnitt Beispiele zuletzt genannte σ-Ring.

Jeder σ-Ring ist ein Ring und damit auch ein Halbring und ein Mengenverband. Die Umkehrungen gelten im Allgemeinen nicht. Beispiel eines Ringes, der kein σ-Ring ist, wäre das Mengensystem aller endlichen Teilmengen bei einer abzählbar unendlichen Grundmenge.

Jeder σ-Ring ist auch immer ein δ-Ring, denn wie im Abschnitt Eigenschaften gezeigt wurde, sind σ-Ringe immer auch stabil bezüglich abzählbaren Schnitten. Umgekehrt sind δ-Ringe jedoch im Allgemeinen keine σ-Ringe. Betrachtet man zum Beispiel eine beliebige abzählbare Menge ${\displaystyle \Omega }$ und definiert darauf das Mengensystem aller endlichen Mengen

${\displaystyle {\mathcal {E}}:=\{E\subseteq \Omega \mid |E|<\infty \}}$,

so handelt es sich um einen δ-Ring, da abzählbare Schnitte endlicher Mengen wieder endlich sind. Es ist aber kein σ-Ring, denn abzählbare Vereinigungen von endlichen Mengen sind im Allgemeinen nicht endlich.

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring. Denn sind die Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3},...}$ im Ring enthalten, so ist auch

${\displaystyle B_{n}:=\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}}$

aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen ${\displaystyle B_{n}}$ bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}}$

aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten. Das Mengensystem ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.

Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität bezüglich abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer auch eine monotone Klasse.