Äußeres Maß

Sei ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ beliebiges Mengensystem mit ${\displaystyle \emptyset \in S}$ und ${\displaystyle \mu \colon S\rightarrow [0,+\infty ]}$ eine Mengenfunktion mit ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$. Setzt man für alle ${\displaystyle A\subseteq X}$:

${\displaystyle \nu (A):={\begin{cases}\inf \ \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})\,\right|\,A_{i}\in S,\ A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}\\+\infty ,{\text{ wenn }}A{\text{ in keiner abz}}\mathrm {\ddot {a}} {\text{hlbaren Vereinigung von Mengen aus }}S{\text{ enthalten ist}}.\end{cases}}}$

Dann ist ${\displaystyle \nu }$ ein äußeres Maß auf ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$. Ist ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$-subadditiv, so gilt ${\displaystyle \mu (A)=\nu (A)}$ für alle ${\displaystyle A\in S}$. Somit lässt sich insbesondere mittels eines Inhalts oder eines Prämaßes auf einem Halbring oder Ring ein äußeres Maß konstruieren. Manchmal wird daher die obige Konstruktion nur für diese Spezialfälle definiert.

Wählt man als Prämaß das Lebesguesche Prämaß, so erhält man das äußere Lebesguesche Maß, wählt man als Prämaß das Lebesgue-Stieltjessche Prämaß, so erhält man das äußere Lebesgue-Stieltjessche Maß.

Sei ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ beliebiges Mengensystem auf dem metrischen Raum ${\displaystyle (X,d)}$ mit ${\displaystyle \emptyset \in S}$ und ${\displaystyle \mu \colon S\rightarrow [0,+\infty ]}$ eine Mengenfunktion mit ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$. Definiert man

${\displaystyle \nu _{\delta }(A):={\begin{cases}\inf \ \left\{\left.\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A_{i})\,\right|\,\operatorname {diam} (A_{i})\leq \delta ,\,A_{i}\in S,\ A\subseteq \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right\}\\+\infty ,{\text{ wenn }}A{\text{ in keiner abzählbaren Vereinigung von Mengen aus }}S{\text{ mit Durchmesser }}\leq \delta {\text{ enthalten ist}},\end{cases}}}$

so ist

${\displaystyle \nu (A):=\sup _{\delta >0}\nu _{\delta }(A)}$

ein metrisches äußeres Maß. Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {diam} (A)}$ der Durchmesser der Menge ${\displaystyle A}$.

Auf diese Weise wird zum Beispiel das äußere Hausdorff-Maß definiert, aber auch das äußere Lebesguesche Maß kann so gewonnen werden. Dazu setzt man ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ und ${\displaystyle \mu (A)=\operatorname {diam} (A)}$ und als Mengensystem den Halbring der halboffenen Intervalle.

• ${\displaystyle \emptyset ,X}$ sind ${\displaystyle \nu }$-messbar.
• Komplemente ${\displaystyle \nu }$-messbarer Mengen sind messbar: Sei ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \nu }$-messbar. Dann ist auch ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle \nu }$-messbar.
• Nullmengen bezüglich des äußeren Maßes sind messbar: Sei ${\displaystyle A\subseteq X}$ mit ${\displaystyle \nu (A)=0}$. Dann ist ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu }$-messbar. Genauso ist ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu }$-messbar, falls ${\displaystyle \nu (A^{c})=0}$ gilt.

Meist wird mit der Messbarkeit einer Menge gemeint, dass sich diese Menge in einer bestimmten σ-Algebra befindet. Dieser Messbarkeitsbegriff ist hauptsächlich davon abhängig, in welchem Messraum man sich befindet. Daher spricht man auch teilweise von der Messbarkeit bezüglich eines Messraumes.

Im Gegensatz dazu ist der hier verwendete Messbarkeitsbegriff unabhängig von einem Mengensystem. Er hängt nur von dem äußeren Maß ab, das auf der gesamten Potenzmenge definiert ist. Dementsprechend nennt man die Messbarkeit nach Carathéodory auch Messbarkeit bezüglich eines äußeren Maßes.

Ist ${\displaystyle \nu }$ ein äußeres Maß, so ist die Menge

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\nu }=\{A\subset X|A{\text{ ist }}\nu {\text{-messbar}}\}}$

eine σ-Algebra und ${\displaystyle \nu |_{{\mathcal {A}}_{\nu }}}$ ein vollständiges Maß.

Es lässt sich auch zeigen, dass ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\nu }}$ genau dann die Borelsche σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ enthält, wenn ${\displaystyle \nu }$ ein metrisches äußeres Maß auf dem metrischen Raum ${\displaystyle (X,d)}$ ist.