Automorphismus

Sei ${\displaystyle \left(A,(f_{i})_{i\in I}\right)}$ eine algebraische Struktur, also eine Menge ${\displaystyle A}$ zusammen mit einer (meist endlichen) Anzahl an (inneren) Verknüpfungen ${\displaystyle f_{i}\colon A^{d_{i}}\to A}$. Eine solche algebraische Struktur könnte beispielsweise eine Gruppe ${\displaystyle (A,*)}$, ein Ring ${\displaystyle \left(A,(+,*)\right)}$ oder ein Vektorraum ${\displaystyle \left(A,(+,\times )\right)}$ sein (bei denen die Verknüpfungen zweistellig sind, also ${\displaystyle d_{*}=d_{+}=d_{\times }=2}$). Dann versteht man in der Algebra unter einem Automorphismus ${\displaystyle \phi \colon A\to A}$ eine bijektive Abbildung der Menge ${\displaystyle A}$ auf sich selbst, die ein Homomorphismus ist, das heißt, es gilt

${\displaystyle \phi \left(f_{i}(a_{1},\dotsc ,a_{d_{i}})\right)=f_{i}\left(\phi (a_{1}),\dotsc ,\phi (a_{d_{i}})\right)}$

für jedes ${\displaystyle i\in I}$ und alle ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{d_{i}}\in A}$. Die Umkehrfunktion ${\displaystyle \phi ^{-1}\colon A\to A}$ ist dann ebenfalls ein Homomorphismus.[1]

Sei ${\displaystyle X}$ ein Objekt. Ein Morphismus ${\displaystyle f\colon X\to X}$ wird Automorphismus genannt, wenn es einen Morphismus ${\displaystyle g\colon X\to X}$ mit

${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{X}}$ und ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$

gibt, ${\displaystyle f}$ also ein beidseitiges Inverses besitzt.[2]

Ein Automorphismus ist damit dasselbe wie[3]

• ein Isomorphismus, dessen Quelle und Ziel gleich sind, und
• ein invertierbarer Endomorphismus.

Für Kategorien von algebraischen Strukturen (und den zugehörigen Homomorphismen) ist die Definition äquivalent zu der im vorherigen Abschnitt.

Ein Automorphismus eines Graphen ${\displaystyle G=(V,E)}$ mit Knotenmenge ${\displaystyle V}$ und Kantenmenge ${\displaystyle E}$ ist eine bijektive Abbildung ${\displaystyle \phi \colon V\to V}$, sodass ${\displaystyle \{v_{1},v_{2}\}\in E\iff \{\phi (v_{1}),\phi (v_{2})\}\in E}$ für alle ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V}$ gilt.

Ein Automorphismus eines Graphen induziert einen Automorphismus des Komplementgraphen.

Der Satz von Frucht besagt, dass zu jeder Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ ein Graph ${\displaystyle G}$ existiert, sodass ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$ isomorph zu ${\displaystyle \Gamma }$ ist.

Sei ${\displaystyle V=\{1,2,3,4\}}$ und ${\displaystyle E=\{\{1,2\},\{3,4\}\}}$:

Automorphismen von ${\displaystyle G=(V,E)}$ sind Permutationen von ${\displaystyle V}$, sodass die Anwendung der Permutation auf das Diagramm wieder eine Veranschaulichung desselben Graphen ergibt. Beispiel: Die Permutation ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&3&1&2\end{pmatrix}}}$ ist ein Automorphismus, weil die Kanten nach wie vor zwischen 1 und 2 sowie zwischen 3 und 4 verlaufen:

Die Permutation ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&3&2&4\end{pmatrix}}}$ ist kein Automorphismus, weil die Kanten im neuen Bild ${\displaystyle \{1,3\}}$ und ${\displaystyle \{2,4\}}$ sind:

Die Automorphismengruppe des Graphen ist isomorph zur Diedergruppe der Ordnung ${\displaystyle 8}$, sein Komplement ist ein 4-Zyklus.

Ein Automorphismus eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ ist eine bijektive lineare Abbildung ${\displaystyle V\to V}$.

Für endlichdimensionale Vektorräume ${\displaystyle V}$ sind Automorphismen genau diejenigen linearen Abbildungen ${\displaystyle V\to V}$, deren Abbildungsmatrix bezüglich einer beliebigen Basis regulär ist. Die Automorphismengruppe wird häufig als GL(V) notiert.[4]

Ein Automorphismus einer Gruppe ${\displaystyle (G,\circ )}$ ist ein bijektiver Gruppenhomomorphismus dieser Gruppe auf sich selbst, das heißt eine bijektive Abbildung ${\displaystyle \phi \colon G\to G}$ mit ${\displaystyle \phi (g\circ h)=\phi (g)\circ \phi (h)}$ für alle ${\displaystyle g,h\in G}$.[5]

Unter Automorphismen bleiben alle strukturellen Eigenschaften der Gruppenelemente sowie diesbezügliche Konstruktionen erhalten. So erhält jeder Automorphismus die Ordnung der Elemente (d. h. ${\displaystyle \operatorname {ord} (\phi (g))=\operatorname {ord} (g)}$ für alle ${\displaystyle g\in G}$), induziert einen Automorphismus des Zentrums und bildet Erzeugendensysteme auf Erzeugendensysteme ab.

Ist ${\displaystyle G}$ eine Gruppe und ${\displaystyle h\in G}$ fest, dann ist ${\displaystyle i_{h}\colon G\to G}$, ${\displaystyle i_{h}(g)=hgh^{-1}}$ ein Automorphismus von ${\displaystyle G}$, genannt Konjugation mit ${\displaystyle h}$. Automorphismen, die auf diesem Weg entstehen, heißen innere Automorphismen. Automorphismen, die keine inneren Automorphismen sind, heißen äußere Automorphismen. Weil ${\displaystyle h\mapsto i_{h}}$ ein Homomorphismus ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (G)}$ ist und ${\displaystyle i_{h}}$ genau dann der triviale Automorphismus ist, wenn ${\displaystyle h}$ im Zentrum von ${\displaystyle G}$ liegt,[6] ist die Menge ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ aller inneren Automorphismen nach dem Homomorphiesatz eine zu ${\displaystyle G/Z(G)}$ isomorphe Untergruppe von ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$. Sie ist sogar ein Normalteiler in ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$, und die Faktorgruppe ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G)}$ wird mit ${\displaystyle \operatorname {Out} (G)}$ bezeichnet. Sie heißt Gruppe der äußeren Automorphismen. Die Einschränkung auf das Zentrum liefert einen Homomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Out} (G)\to \operatorname {Aut} (Z(G))}$.

Für abelsche Gruppen sind alle inneren Homomorphismen trivial, und ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)=\operatorname {Out} (G)}$.

Für eine Untergruppe ${\displaystyle H\subseteq G}$ erhält man durch Einschränkung der inneren Automorphismen einen injektiven Homomorphismus ${\displaystyle N_{G}(H)/Z_{G}(H)\to \operatorname {Aut} (H)}$. Siehe Normalisator und Zentralisator.

• Die bijektive Abbildung ${\displaystyle G\to G}$, ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$, ist genau dann ein Homomorphismus und damit ein Automorphismus, wenn ${\displaystyle G}$ abelsch ist.
• Die Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ hat genau einen nichttrivialen Automorphismus, nämlich ${\displaystyle x\mapsto -x}$. Das folgt daraus, dass ein Automorphismus ein Erzeugendensystem auf ein Erzeugendensystem abbildet.
• Die Automorphismengruppe der kleinschen Vierergruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$.
• Die Automorphismengruppe der Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+)}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ (durch Multiplikation).
• Der Automorphismus ${\displaystyle A\mapsto (A^{T})^{-1}}$ von ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ist kein innerer Automorphismus, weil seine Einschränkung auf das Zentrum, die Untergruppe der Skalarmatrizen, nicht trivial ist.

• Untergruppen, die invariant unter allen Automorphismen sind, heißen charakteristische Untergruppen.

Ein Automorphismus eines Körpers ${\displaystyle K}$ ist eine bijektive Abbildung ${\displaystyle \phi \colon K\to K}$, die ${\displaystyle \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y)}$ und ${\displaystyle \phi (xy)=\phi (x)\phi (y)}$ für alle ${\displaystyle x,y\in K}$ erfüllt. Ist ${\displaystyle L/K}$ eine Körpererweiterung, dann nennt man diejenigen Automorphismen ${\displaystyle \phi }$ von ${\displaystyle L}$, die ${\displaystyle \phi (x)=x}$ für alle ${\displaystyle x\in K}$ erfüllen, die ${\displaystyle K}$-Automorphismen von ${\displaystyle L}$. Sie bilden eine Gruppe, notiert ${\displaystyle \mathrm {Aut} _{K}(L)}$ oder ${\displaystyle \mathrm {Aut} (L/K)}$. Ein Automorphismus von ${\displaystyle L}$ ist genau dann ein ${\displaystyle K}$-Automorphismus, wenn er eine ${\displaystyle K}$-lineare Abbildung ist.

• Die Konjugation ${\displaystyle a+bi\mapsto a-bi}$ für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ ist ein ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Automorphismus des Körpers ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen.
• Die Abbildung ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}\mapsto a-b{\sqrt {2}}}$ ist für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} }$ der einzige nichttriviale Automorphismus von ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$.
• Der Körper der rationalen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ und der Körper der reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ besitzen keine nichttrivialen Automorphismen. Man bezeichnet sie deshalb auch als starr.[7] Wie das Beispiel ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$ zeigt, überträgt sich Starrheit nicht auf Unter-, Ober-, Zwischenkörper. Dass ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ starr ist, erkennt man daran, dass sich jede rationale Zahl als algebraischer Ausdruck in ${\displaystyle 1}$ darstellen lässt, wobei die ${\displaystyle 1}$ als neutrales Element der Multiplikation unter Automorphismen erhalten bleiben muss. Jeder Automorphismus auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ muss entsprechend jede rationale Zahl auf sich selbst abbilden. Da er zudem die Ordnung erhält, müssen sogar alle reellen Zahlen Fixpunkt sein.[8]
• Ist ${\displaystyle K}$ ein endlicher oder allgemeiner perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p>0}$, dann ist ${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$ ein Automorphismus von ${\displaystyle K}$, der Frobeniusautomorphismus.
• Ist ${\displaystyle L}$ ein Körper und ${\displaystyle G\subseteq \mathrm {Aut} (L)}$ eine Untermenge, dann ist ${\displaystyle K=\{x\in L\mid \forall \phi \in G\colon \phi (x)=x\}}$ ein Unterkörper von ${\displaystyle L}$, genannt der Fixkörper von ${\displaystyle G}$. Ist ${\displaystyle G}$ eine endliche Untergruppe, so ist ${\displaystyle L/K}$ eine Galoiserweiterung vom Grad ${\displaystyle [L:K]=|G|}$. Die Galoistheorie stellt weitere Verbindungen zwischen Körpererweiterungen und Automorphismengruppen her.

Für Algebren kann man wie bei Gruppen innere Automorphismen als Konjugation mit einer Einheit definieren. Innere Automorphismen sind trivial auf dem Zentrum, und der Satz von Skolem-Noether besagt, dass für eine halbeinfache Algebra auch die Umkehrung gilt.

In der Funktionentheorie sind die Morphismen die holomorphen Funktionen und die Automorphismen die konformen Selbstabbildungen. Die Automorphismengruppe bspw. der offenen Einheitskreisscheibe ${\displaystyle \mathbb {E} }$ ist gegeben durch:

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {E} )=\left\{\varphi \colon \mathbb {E} \to \mathbb {E} \mid \varphi (z)=\lambda {\frac {z-a}{{\bar {a}}z-1}}\colon \lambda \in \partial \mathbb {E} ,a\in \mathbb {E} \right\}}$