প্রাথমিক বীজগণিত

বর্ণমালা, সংখ্যা ও চিহ্নের বাইরে বীজগাণিতিক রাশি লেখার জন্য প্রয়োজনীয় লিপি সম্পাদনার সুযোগ না থাকলে ভিন্ন ধরনের প্রতীক-চিহ্নাদি (নোটেশন) ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, বীজগণিতে ঘাত বোঝাতে সুপারস্ক্রিপ্ট ব্যবহার করা হলেও সরল লিপিতে বা টেক্স-সম্পাদনার ক্ষেত্রে ক্যারেট বা "^" ব্যবহার করা হয়, যেমন ${\displaystyle x^{2}}$ কে "x^2" লেখা হয়।[12][13] কিছু প্রোগ্রামিং ভাষা যেমন: লুয়া এই নিয়ম অনুসরণ করে। আবার বেশ কিছু প্রোগ্রামিং ভাষা যেমন অ্যাডা,[14] ফোর্ট্রান,[15] পার্ল,[16] পাইথন[17] এবং রুবি,[18] এর ক্ষেত্রে দুইটি তারকা চিহ্ন ব্যবহার করা হয়। সেক্ষেত্রে ${\displaystyle x^{2}}$ কে লেখা হয় "x**2"। অনেক প্রোগ্রামিং ভাষা ও ক্যালকুলেটরে একটি তারকা চিহ্ন দিয়ে গুণ বোঝানো হয়।[19] সেক্ষেত্রে তা অবশ্যই দ্ব্যর্থহীন ও সুস্পষ্ট হতে হবে। এই ব্যবহারের উদাহরণ: ${\displaystyle 3x}$ বোঝাতে "3*x"।

বৃত্তের ব্যাস ও পরিধির সম্পর্ক নির্দেশ করতে চলক ব্যবহারের উদাহরণ। যে কোনো বৃত্তের পরিধি c কে, এর ব্যাস d দ্বারা ভাগ করে তাদের অনুপাত পাওয়া যায় যা একটি ধ্রুবক পাই, ${\displaystyle \pi }$ (প্রায় 3.14).

প্রাথমিক বীজগণিতের ভিত্তি হলো পাটিগণিতের সম্প্রসারণ[20] যা করা হয় চলক হিসেবে বর্ণ ব্যবহারের মাধ্যমে যে বর্ণমালা সাধারণ কোনো সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে। চলক বোঝাতে বর্ণের ব্যবহার বিভিন্ন কারণে সুবিধাজনক।

1. যেসব রাশির মান অজানা, সেসব মানকে উপস্থাপনের জন্য চলক ব্যবহৃত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আজকের দিনের তাপমাত্রা, C যদি গতকালের তাপমাত্রার চেয়ে ২০ ডিগ্রি বেশি হয়, তবে এই সমস্যাটিকে নিম্নরূপে বীজগাণিতিকভাবে উপস্থাপন করা যায়, ${\displaystyle C=P+20}$.[21]
2. চলকের সাহায্যে কোনো সমস্যায় উপস্থিত রাশিগুলোকে সুনির্দিষ্ট কোনো মান ব্যবহার না করেও সাধারণ ভাবে (Generalized) বর্ণনা করা যায়।[22] উদাহরণস্বরূপ, সুনির্দিষ্ট মান ব্যবহার করে বলা যায় 5 মিনিট সমান ${\displaystyle 60\times 5=300}$ সেকেন্ড। কিন্তু আরো "সাধারণ" বীজগাণিতিক বক্তব্য হলো, সেকেন্ডে সময়ের মান, ${\displaystyle s=60\times m}$, যেখানে m হলো মিনিটের সংখ্যা।
3. চলকের মাধ্যমে পরিবর্তনীয় রাশিমালার মধ্যে সম্পর্ক উপস্থাপন করা যায়।[23] যেমন বৃত্তের পরিধি c ও ব্যাস d হলে তাদের সম্পর্ক ${\displaystyle \pi =c/d}$।
4. চলকের সাহায্যে কোনো গাণিতিক স্বতসিদ্ধকে সহজেই বর্ণনা করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, যোগের একটি মৌলিক ধর্ম হলো commutativity, যা বলে: কোন ক্রমানুযায়ী সংখ্যাকে যোগ করা হয়, তা যোগফলের পরিবর্তন করে না। একে বীজগাণিতিকভাবে এভাবে বলা যায়, ${\displaystyle (a+b)=(b+a)}$.[24]

বীজগাণিতিক রাশিকে মৌলিক পাটিগণিতীয় প্রক্রিয়া (যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ, সূচকীকরণ প্রভৃতির মাধ্যমে সরলীকরণ ও মান নির্ণয় করা যায়। উদাহরণ হিসেবে,

• যোজ্য পদগুলোকে সহগের মাধ্যমে সরলীকরণ করা হয়, ${\displaystyle x+x+x}$ এর সরলমান ${\displaystyle 3x}$ (যেখানে 3 একটি সাংখ্যিক সহগ).
• গুণফলকে সূচকের সাহায্যে সরল করা হয়। যেমন, ${\displaystyle x\times x\times x}$ হয় ${\displaystyle x^{3}}$ এর সমান।
• একই চলকধারী পদ পরস্পর যোগ হয়,[25] যেমন ${\displaystyle 2x^{2}+3ab-x^{2}+ab}$ কে লেখা যায় ${\displaystyle x^{2}+4ab}$, কারণ ${\displaystyle x^{2}}$ যুক্ত রাশিদ্বয়কে পরস্পর যোগ করা যেতে পারে। আবার ${\displaystyle ab}$ যুক্ত পদকেও তা করা হয়েছে।
• বণ্টন বিধির সাহায্যে বন্ধনীর বাইরের অংশকে গুণ করে সরল করা যায়। যেমন, ${\displaystyle x(2x+3)}$ কে লেখা হয় ${\displaystyle (x\times 2x)+(x\times 3)}$ যা দাঁড়ায়, ${\displaystyle 2x^{2}+3x}$
• রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। যেমন, ${\displaystyle 6x^{5}+3x^{2}}$ এর উভয় পদকে ${\displaystyle 3x^{2}}$ দিয়ে ভাগ করে লেখা যায় ${\displaystyle 3x^{2}(2x^{3}+1)}$

অ্যানিমেশনের সাহায্যে পিথাগোরাসের সূত্র উপস্থাপন। যা সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজ এবং অপর দুই বাহুর সম্পর্ক নির্দেশ করে।

সমীকরণ, সমতার চিহ্ন, = (সমান চিহ্ন) ব্যবহার করে দুইটি রাশির সমতা নির্দেশ করে।[26] পিথাগোরাসের সুত্রের সাহায্যে প্রাপ্ত সমীকরণ সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর সম্পর্ক নির্দেশ করে:[27]

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

সমীকরণ মতে, সমকোণের বিপরীত বাহু তথা অতিভুজের দৈর্ঘ্যের বর্গ, ${\displaystyle c^{2}}$, অপর দুই বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টির সমান, যাদের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে a এবং b।

একটি সমীকরণের বক্তব্য হলো, উভয় রাশির মান সমান এবং তাদের মধ্যে সমতা রয়েছে। কিছু সমীকরণ সংশ্লিষ্ট চলকের যে কোনো মানের জন্য সত্য; (যেমন ${\displaystyle a+b=b+a}$); এ ধরনের সমীকরণকে বলা হয় অভেদ। শর্তাধীন সমীকরণগুলো সংশ্লিষ্ট চলকের অল্প কিছু মানের জন্য সত্য হয়, যেমন ${\displaystyle x^{2}-1=8}$ কেবল ${\displaystyle x=3}$ ও ${\displaystyle x=-3}$ এর জন্য সত্য। যেসব মানের জন্য সমীকরণ সত্য হয়, তাদের সমীকরণের সমাধান বলা হয়, যা সমীকরণ সমাধান পদ্ধতিতে পাওয়া যায়।

আরেক ধরনের সমীকরণ হলো অসমতা। অসমতার মাধ্যমে সমীকরণের দুই পক্ষের মধ্যে তুলনামূলক ছোট বা বড় - এরূপ সম্পর্ক বোঝায়। এতে যে চিহ্ন ব্যবহার ব্যবহার করা হয়, তা হলো: ${\displaystyle a>b}$ যেখানে ${\displaystyle >}$ দ্বারা 'বৃহত্তর', এবং ${\displaystyle a<b}$ এ ${\displaystyle <}$ দ্বারা 'ক্ষুদ্রতর' বোঝায়। অন্যান্য আদর্শ সমীকরণের মতোই অসমতায় সংখ্যা উভয়পক্ষে যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ করা যায়।তবে ব্যতিক্রমটি হলো কোনো ঋণাত্বক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার দিক পরিবর্তিত হয়।

সংজ্ঞা মতে, সমতা হলো একটি সাম্যতাবাচক সম্পর্ক, যার অর্থ এর নিম্নোক্ত বৈশিষ্ট্য রয়েছে (ক) আত্মবাচকতা (যার অর্থ ${\displaystyle b=b}$), (খ) প্রতিসাম্য (অর্থাৎ যদি ${\displaystyle a=b}$ তবে ${\displaystyle b=a}$) (গ) ট্রানজিটিভ (অর্থাৎ যদি ${\displaystyle a=b}$ এবং ${\displaystyle b=c}$ তাহলে ${\displaystyle a=c}$)।[28] এ কারণে এই ধর্মটিও সত্য যে দুটি প্রতীক পরস্পর সমান হলে যে কোনো গাণিতিক বাক্যে একটি প্রতীককে অপরটি দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে উক্ত গাণিতিক উক্তিটি সত্য থাকে। এর নিম্নরূপ প্রয়োগে তা দ্রষ্টব্য:

• যদি ${\displaystyle a=b}$ এবং ${\displaystyle c=d}$ হয়, তবে ${\displaystyle a+c=b+d}$ এবং ${\displaystyle ac=bd}$;
• যদি ${\displaystyle a=b}$ হয়, তবে ${\displaystyle a+c=b+c}$ এবং ${\displaystyle ac=bc}$;
• আরও সাধারণভাবে বলা যায়, যে কোনো ফাংশন f এর জন্য, যদি ${\displaystyle a=b}$ হয়, তবে ${\displaystyle f(a)=f(b)}$।

ক্ষুদ্রতর ${\displaystyle <}$ ও বৃহত্তর ${\displaystyle >}$ সম্পর্কদুটি ট্রানজিটিভ[29]

• যদি   ${\displaystyle a<b}$   এবং   ${\displaystyle b<c}$   তবে   ${\displaystyle a<c}$;
• যদি   ${\displaystyle a<b}$   এবং   ${\displaystyle c<d}$   তবে   ${\displaystyle a+c<b+d}$;[30]
• যদি   ${\displaystyle a<b}$   এবং   ${\displaystyle c>0}$   তবে   ${\displaystyle ac<bc}$;
• যদি   ${\displaystyle a<b}$   এবং   ${\displaystyle c<0}$   তবে   ${\displaystyle bc<ac}$।

অসমতার পক্ষদুটি পাল্টে দিয়ে, ${\displaystyle <}$ এবং ${\displaystyle >}$ কে পরস্পর বিনিময় করা যায়,[31] উদাহরণস্বরূপ:

• ${\displaystyle a<b}$ লেখার অর্থ ${\displaystyle b>a}$।

প্রতিস্থাপন হলো কোনো গাণিতিক উক্তির কোনো পদকে অন্য কিছু দ্বারা পরিবর্তিত করা। a*5 রাশিটিতে a কে 3 দ্বারা প্রতিস্থাপন করলে নতুন একটি রাশি 3*5 তে পরিণত হয় যার অর্থ 15। গাণিতিক উক্তিতে কোনো পদকে প্রতিস্থাপন করলে নতুন একটি উক্তি তৈরি হয়। যদি পদগুলোর মানের জন্য মূল উক্তিটি সত্য হয়, তবে প্রতিস্থাপনের পর নতুন গাণিতিক উক্তিটিও সত্য। তাই প্রতীকী পদের সাহায্যে সংজ্ঞা দাঁড়া করানো যায়, তাতে মান বসিয়ে ব্যাখ্যাও করা সম্ভব হয়: যদি বলা হয় ${\displaystyle a^{2}:=a\times a}$ তবে এর অর্থ হলো ${\displaystyle a^{2},}$ কে, a এর সঙ্গে এর নিজের গুণফল বলে সংজ্ঞায়িত করা হয়। একজন পাঠক a কে 3 দ্বারা প্রতিস্থাপন করে বুঝতে পারেন ${\displaystyle 3^{2}}$ এর মানে 3 × 3 = 9। অনেক সময় কোনো গাণিতিক উক্তি কোনো পদের যে কোনো মানের জন্য সত্য কিনা তা জানা যায় না। প্রতিস্থাপনের সাহায্যে উক্তিটির সীমাবদ্ধতা জানা যায়। উদাহরণ হিসেবে x + 1 = 0 গাণিতিক উক্তিতে x এর স্থলে 1 বসালে, উক্তিটি হয় 1 + 1 = 2 = 0, যা মিথ্যা, এতে বোঝা গেল x + 1 = 0 হলে x, 1 হতে পারে না।

যদি x এবং y পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যা, অথবা বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে xy = 0 এর অর্থ x = 0 অথবা y = 0। abc = 0 বিবেচনা করি। তাহলে, a দ্বারা x কে এবং bc দ্বারা y কে প্রতিস্থাপন করে পাই a = 0 অথবা bc = 0. তখন আমরা আবার, x = b এবং y = c ধরে পাই, যদি bc = 0 তাহলে b = 0 অথবা c = 0. সুতরাং, abc = 0 হলে, a = 0 অথবা (b = 0 অথবা c = 0)। তাই abc = 0 দাঁড়ায়, a = 0 অথবা b = 0 অথবা c = 0।

এটা যদি প্রকৃত বিষয় হয়ে থাকে যে, "ab = 0 এর অর্থ a = 0 অথবা b = 0", তাহলে যখন বলা হয় "বিবেচনা কর abc = 0," তখন আমাদের পদ প্রতিস্থাপনকালে দ্বন্দ্ব তৈরি হতে পারে। তবুই উপরে উল্লিখিত যুক্তি কার্যকর। যদি abc = 0 তাহলে a = 0 অথবা b = 0 অথবা c = 0 যদি, a = a এবং b = bc না ধরে কেউ, a দ্বারা a কে এবং b দ্বারা bc কে (এবং bc = 0 অনুযায়ী b দ্বারা a এবং c দ্বারা b) প্রতিস্থাপন করে। এতে বোঝা যায় একটি গাণিতিক উক্তির কোনো পদকে প্রতিস্থাপন করা মানে সবসময় প্রতিস্থাপিত পদ ও পূর্বেকার পদ যে একই হবে তা নয়। এই পরিস্থিতিতে এটা পরিষ্কার হয় যে আমরা যদি একটি গাণিতিক বাক্যে a দ্বারা a প্রতিস্থাপন করি। প্রতিস্থাপিত a, এই গাণিতিক উক্তির প্রথমোক্ত a নয়।