গুণোত্তর গড়

গণিতের ভাষায় একগুচ্ছ সংখ্যার গুণোত্তর গড় হলো এমন এক ধরনের গড়, যার মাধ্যমে ঐ সংখ্যাগুলোর কেন্দ্রীয় প্রবণতাকে অর্থাৎ সংখ্যাগুলোর সাধারণ মানকে (typical value) এদের গুণফলের মাধ্যমে নির্ধারণ করা হয়। আমাদের অতি পরিচিত সমান্তর বা সাধারণ গড়ে যেখানে সংখ্যাগুলোর মানের যোগফল ব্যবহার করা হয়, তার থেকে বিপরীত হলো এই গুণোত্তর গড়। সাধারণভাবে, গুণোত্তর গড়কে n-সংখ্যক সংখ্যার গুণফলের n-তম মূল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

চিত্রে ${\displaystyle l_{g}}$ (লাল) হলো ${\displaystyle l_{1}}$ ও ${\displaystyle l_{2}}$ এর গুণোত্তর গড়, যেখানে ${\displaystyle l_{1}\;({\overline {AB}})}$ ও ${\displaystyle l_{2}\;({\overline {BC}})}$ রেখাংশ দুটি পরস্পরের ওপর লম্ব।[1][2]

একগুচ্ছ সংখ্যা x₁, x₂, ..., x_n-এর ক্ষেত্রে এদের গুণোত্তর গড়কে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়ে থাকে:

${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}$

অথবা, সমান্তর গড়ের অনুরূপভাবে লগভিত্তিক স্কেলেও এদের গুণোত্তর গড়কে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

${\displaystyle \exp {\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}}$

উদাহরণস্বরূপ, 2 ও 8 সংখ্যা দুটোর গুণফলের বর্গমূলই হচ্ছে এদের গুণোত্তর গড়, যা ${\displaystyle {\sqrt {2\cdot 8}}={\sqrt {16}}=4}$। অন্য আরেকটি উদাহরণ দেখা যাক; 4, 1 ও 1/32 সংখ্যা তিনটির গুণোত্তর গড় হলো এদের গুণফলের ঘনমূল, যা ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}={\sqrt[{3}]{1/8}}=1/2}$। গুণোত্তর গড় কেবল ধনাত্মক সংখ্যার ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য।[3]