গতির সমীকরণসমূহ

একটি চিরায়ত কণার জন্য সৃতিবিদ্যার রাশিসমূহ; যেখানে: কণাটির ভর m, অবস্থান r, বেগ v ও ত্বরণ a।

অতি ক্ষুদ্র সময় ব্যবধানকে তাৎক্ষণিক সময় বলে। t তাৎক্ষণিক সময়ে কোন কণার তাৎক্ষণিক অবস্থান r = r(t), তাৎক্ষণিক বেগ v = v(t), ত্বরণ a = a(t) এর সাধারণ ও স্থানাঙ্ক-অনির্ভর সংজ্ঞা রয়েছে।[11] সংজ্ঞানুসারে পাই—

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\,\!}$

লক্ষ্যণীয় যে, বেগের অভিমুখ সর্বদা কণার গতির দিকে, অন্য কথায় বক্রপথ হল স্পর্শক ভেক্টর। সহজভাবে বলা যায়, প্রথম ডেরিভেটিভ বা অন্তরজ বক্ররেখার স্পর্শকের সাথে সম্পর্কিত। তবে বক্রপথের ক্ষেত্রে, ত্বরণের দিক হবে বক্রতার কেন্দ্রের দিকে। আরও সহজভাবে বলা যায়, দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বক্রতার সাথে সম্পর্কিত।

কোন বস্তু একটি স্থির বিন্দু বা অক্ষের সাপেক্ষে ঘুরতে থাকলে এর গতিকে ঘূর্ণন গতি বলে। ঘূর্ণন গতির ক্ষেত্রে রৈখিক গতির সদৃশ রাশিগুলো হবে কৌণিক ভেক্টর θ = θ(t) (বিন্দু বা অক্ষের সাপেক্ষে বস্তু যে কৌণিক দূরত্ব অতিক্রম করে), কৌণিক বেগ ω = ω(t) এবং কৌণিক ত্বরণ α = α(t)। তাহলে কৌণিক গতির সংজ্ঞা হতে পাই—

${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,,}$

এখানে n̂ একটি একক ভেক্টর যার দিক ঘূর্ণন অক্ষের দিকে এবং θ হল অক্ষের সাপেক্ষে বস্তুর ঘূর্ণন কোণ বা অতিক্রান্ত কৌণিক দূরত্ব।

এবার একটি বিন্দু কণা বিবেচনা করা যাক যা প্রসঙ্গ কাঠামোর একটি অক্ষের সাপেক্ষে ω কৌণিক বেগে আবর্তন করছে। এর অবস্থান ভেক্টর r (ঘূর্ণন অক্ষ থেকে কণার ভ্রমণ পথের ব্যাসার্ধ) এবং স্পর্শীয় বেগ v। তাহলে আমরা যে সমীকরণটি পাব[12] —

${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \,\!}$

এই সমীকরণটি আবর্তনশীল কণার কৌণিক বেগ ও রৈখিক বেগের মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করে। ঘূর্ণায়মান দৃঢ় বস্তুর অভ্যন্তরে প্রতিটি বিন্দুতে এই সম্পর্কগুলো বিদ্যমান।

সরল রেখা বরাবর ধ্রুব বা সম ত্বরণে চলমান কোন কণার গতির ব্যবকলনী সমীকরণটি একটি সাধারণ সমীকরণ। ত্বরণ যেহেতু ধ্রুবক তাই বস্তকণার অবস্থানের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটিও ধ্রুবক। ত্বরণজাত ফলাফল নিচে সংক্ষিপ্ত আকারে উত্থাপন করা হল।

পদার্থবিজ্ঞানে অনুবাদ বলতে ঘূর্ণন ছাড়াই সুষম গতিকে বোঝায়। একটি সরল রেখা বরাবর ধ্রুব ত্বরণে গতিশীল কণার উপর ত্রিমাত্রিকভাবে রৈখিকহারে এই সমীকরণগুলো প্রযুক্ত হয়। অবস্থান, বেগ ও ত্বরণ ভেক্টরত্রয় সমরৈখিক হওয়ায় অর্থাৎ এরা পরস্পরের সমান্তরালে বা একই রেখা বরাবর ক্রিয়া করায় এদের শুধু মান প্রয়োজন এবং বেগ ভেক্টরটি সরল রেখা বরাবর ক্রিয়া করায় গতীয় সমস্যাটি ত্রিমাত্রিক থেকে একমাত্রিক বা রৈখিকে রূপান্তরিত হয়। এক্ষেত্রে গতির সমীকরণসমূহ হবে—

• ${\displaystyle {\begin{aligned}v&=at+v_{0}.........\quad (i)\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle {\begin{aligned}r&=r_{0}+v_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}.........\quad (ii)\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle {\begin{aligned}r&=r_{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(v+v_{0}\right)t.........\quad (iii)\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle {\begin{aligned}v^{2}&=v_{0}^{2}+2a\left(r-r_{0}\right).........\quad (iv)\\\end{aligned}}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}r&=r_{0}+vt-{\tfrac {1}{2}}{a}t^{2}.........\quad (v)\\\end{aligned}}}$

যেখানে:—

• কণার আদি অবস্থান = r₀
• কণার শেষ অবস্থান = r
• কণার আদি বেগ = v₀
• কণার শেষ বেগ = v
• কণার ত্বরণ = a
• সময় ব্যবধান = t

এখানে a হল ধ্রুব ত্বরণ। যেমন: অভিকর্ষের প্রভাবে মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর ত্বরণ তথা অভিকর্ষজ ত্বরণ হল ধ্রুব ত্বরণ। অভিকর্ষের প্রভাবে গতিশীল বস্তুর ক্ষেত্রে আদর্শ অভিকর্ষ g পদটি ব্যবহৃত হয়। অভিকর্ষের দরুন আদর্শ ত্বরণকে অর্থাৎ মুক্তভাবে পতনজনিত আদর্শ ত্বরণকে আদর্শ অভিকর্ষ বলা হয়। লক্ষ্যণীয় যে, সমীকরণগুলোর প্রতিটিতে চারটি চলক বিদ্যমান। সুতরাং সরণ, আদি বেগ, শেষ বেগ, ত্বরণ ও সময় এই পাঁচটি চলকের দুটি দেওয়া থাকলে অন্য তিনটি অনায়াসেই বের করা যাবে।

অপেক্ষাকৃত নিচের ক্লাশের শিক্ষার্থীদের জন্য এই একই সমীকরণগুলোই ভিন্ন কয়েকটি প্রতীকের মাধ্যমে লেখা হয়। যেমন:

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=u+at.........\quad (i)\\s&=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}.........\quad (ii)\\s&={\tfrac {1}{2}}(u+v)t.........\quad (iii)\\v^{2}&=u^{2}+2as.........\quad (iv)\\s&=vt-{\tfrac {1}{2}}at^{2}.........\quad (v)\\\end{aligned}}}$

এখানে v₀ এর পরিবর্তে u এবং r - r₀ এর পরিবর্তে s ব্যবহৃত হয়েছে। এই সমীকরণগুলোকে SUVAT সমীকরণ বলা হয়, যেখানে: s = সরণ, u = আদি বেগ, v = শেষ বেগ, a = ত্বরণ এবং t = সময়।[13][14]

a ধ্রুব ত্বরণে চলমান একটি কণার বিচরণ পথ; যেখানে কণার আদি অবস্থান ভেক্টর r₀, আদি বেগ v₀ এবং সকল রাশির দিক যে কোন দিকে। t সময় পরে এর অবস্থান ভেক্টর r(t) এবং বেগ v(t)।

আদি অবস্থান, আদি বেগ ও আদি ত্বরণ ভেক্টরত্রয়ের সমরৈখিক হওয়া বাধ্যতামূলক নয় এবং এদের প্রায় অভিন্ন আকার বিদ্যমান। একমাত্র পার্থক্য এই যে, বেগের বর্গ মানের জন্য ডট বা স্কেলার গুণন প্রয়োজন। ব্যবকলনী প্রক্রিয়াগুলো অপরিহার্যভাবেই সমরৈখিকের ঘটনার মতই। এক্ষেত্রে সমীকরণ আকার হবে—

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}.........\quad (i)\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}.........\quad (ii)\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}\right)t.........\quad (iii)\\v^{2}&=v_{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right).........\quad (iv)\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}.........\quad (v)\\\end{aligned}}}$

যদিও টরিসেলির সমীকরণটি ((${\displaystyle iv}$) নং সমীকরণ) ডট গুণনের বণ্টনের সূত্রের দ্বারা নিম্নরূপে প্রতিপাদন করা যায়:—

${\displaystyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}}$

${\displaystyle (2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}}$

${\displaystyle \therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))}$

সৃতিবিদ্যার সাধারণ এবং বহুল আলোচিত সমস্যাবলী যেমন: প্রাসের গতি, উদাহরণ স্বরূপ একটি বলকে u আদিবেগে উপরের দিকে বায়ুতে নিক্ষেপ করলে বলটির নিম্নমুখী গতি শুরুর পূর্বে এটি সর্বোচ্চ কত উচ্চতায় উঠবে গতির এই সমীকরণ ব্যবহার করে যে কারও পক্ষে তা নির্ণয় করা সম্ভব। বলটি নিচে নামার সময় এর ত্বরণটি হবে স্থানীয় ত্বরণ অর্থাৎ অভিকর্ষজ ত্বরণ g। এখানে অবশ্যই খেয়াল রাখতে হবে যে, ব্যবহৃত রাশিসমূহ স্কেলার হলে সরণ, বেগ ও ত্বরণের অভিমুখ খুবই তাৎপর্যপূর্ণ এক বিষয়। আদতে এরা একমুখী ভেক্টর হতে পারে। বলটির সর্বোচ্চ উচ্চতা s নির্ণয়ের জন্য একে ভূমি থেকে উপরের দিকে বিবেচনা করলে ত্বরণ a অবশ্যই -g হবে, যেহেতু অভিকর্ষজ বল নিচের দিকে ক্রিয়া করে এবং এই কারণে বলটির উপর প্রযুক্ত ত্বরণও -g হবে।

এখন, ${\displaystyle (iv)}$ নং সমীকরণ হতে পাই—

${\displaystyle s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}.}$

সর্বোচ্চ বিন্দতে বলটি স্থির, ফলে সেখানে v = 0,

${\displaystyle \therefore }$ v = 0 প্রতিস্থাপন করে এবং ঋণাত্মক মান বর্জন করে পাই—

সর্বোচ্চ উচ্চতা, ${\displaystyle s={\frac {u^{2}}{2g}}.}$

এছাড়াও এই সমীকরণগুলো প্রতিপাদন করে ভূমির সাথে তির্যকভাবে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সঞ্চারপথ, সর্বোচ্চ পাল্লা এবং সঞ্চারপথের যেকোন বিন্দুতে বস্তুর অবস্থান কালের সময়ের সূত্রও বের করা যাবে।

উপরের সমীকরণগুলোর অনুকরণে ঘূর্ণন গতির জন্য অক্ষীয় ভেক্টর নির্ভর সমীকরগুলোকে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়। উল্লেখ্য যে, অক্ষীয় তথা ঘূর্ণন ভেক্টরগুলো অবশ্যই ঘূর্ণন অক্ষের সমান্তরাল হবে এবং এক্ষেত্রে ভেক্টরের শুধু মান প্রয়োজন।

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega &=\omega _{0}+\alpha t.........\quad (i)\\\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\theta _{0}+\omega _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}.........\quad (ii)\\\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\theta _{0}+{\tfrac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega )t.........\quad (iii)\\\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega ^{2}&=\omega _{0}^{2}+2\alpha (\theta -\theta _{0}).........\quad (iv)\\\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=\theta _{0}+\omega t-{\tfrac {1}{2}}\alpha t^{2}.........\quad (v)\\\\\end{aligned}}}$

যেখানে, α = ধ্রুব কৌণিক ত্বরণ, ω = ধ্রুব কৌণিক বেগ, ω₀ = আদি কৌণিক বেগ, θ = কৌণিক সরণ বা ঘূর্ণন কোণ, θ₀ = আদি কোণ এবং t = সময় ব্যবধান= কণার θ₀ থেকে θ অবস্থানে যেতে প্রয়োজনীয় সময়।

উৎস (কেন্দ্র) থেকে ব্যাসার্ধের দিক যে দিকে অর্থাৎ ব্যাসার্ধ যে দিকে গমন করে অবস্থান ভেক্টর r সর্বদা সেই দিক নির্দেশ করে।

ঘূর্ণন গতির ক্ষেত্রে প্রতি মুহূর্তে কণার রৈখিক বেগ v এর দিক হবে গতিপথের স্পর্শক বরাবর। এক্ষেত্রে v হল স্পর্শীয় বেগ।

ত্বরণ ভেক্টর a এর দিক কণার ভ্রমণ পথের স্পর্শক বরাবর নহে, এবং এটি রেডিয়াল গতির সমান্তরালও নয়। a হল কৌণিক ও কোরিওলিস ত্বরণের ফল অথবা কেন্দ্রমুখী ও রেডিয়াল ত্বরণের ফল।

সমতলীয় মেরূ স্থানাঙ্কে কাইনেমেটিক ভেক্টর। লক্ষণীয় যে, ব্যবস্থাটি দ্বিমাত্রিক স্থানে সীমাবদ্ধ নয় বরং এটি যেকোন উচ্চমাত্রিক স্থানে সমতলকে বোঝায়।

এগুলো কোন সমতলে সঞ্চারপথকে আড়াআড়িভাবে অতিক্রমকারী কণার কাইনেমেটিক সমীকরণ যাদেরকে r = r(t) অবস্থান দ্বারা বর্ণনা করা হয়[15]। কৌণিক বেগ ω এবং কৌণিক ত্বরণ α এর জন্য ভৌত রাশির সংজ্ঞার ভিত্তিতে এই সমীকরণগুলো সাধারণভাবে কোন সমতলীয় মেরু স্থানাঙ্কে অবস্থান ভেক্টরের সময় ডেরিভেটিভ। এগুলো সময়ের সাথে পরিবর্তনশীল তাৎক্ষণিক রাশি।

কণার অবস্থান:

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r(t),\theta (t)\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}}$

যেখানে ê_r এবং ê_θ হচ্ছ মেরূ একক ভেক্টর। একে সময়ের সাপেক্ষে ব্যবকলন করলে বেগ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ পাওয়া যাবে।

${\displaystyle \therefore }$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {dr}{dt}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$

এখানে dr/dt এবং rω হল ঘূর্ণনের ফলে সৃষ্ট যথাক্রমে রেডিয়াল উপাদান এবং অতিরিক্ত উপাদান।

একে পুনরায় সময়ের সাপেক্ষে ব্যবকলন করলে ত্বরণ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ পাওয়া যাবে।

${\displaystyle \therefore }$${\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {dr}{dt}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$

এখানে ত্বরণ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ রেডিয়াল ত্বরণ d²r/dt², কেন্দ্রমুখী ত্বরণ –rω², কোরিওলিস ত্বরণ 2ωdr/dt এবং কৌণিক ত্বরণ rα এ বিভাজিত।

এই সমীকরণগুলোর মাধ্যমে ব্যাখ্যাযোগ্য গতির বিশেষ অবস্থাসমূহকে নিচের ছকে সংক্ষেপে উত্থাপন করা হয়েছে। রেডিয়াল উপাদান বা কৌণিক উপাদানগুলির যে কোন একটি শুন্য হবে এবং গতির অশূন্য উপাদান সুষম ত্বরণকে ব্যাখ্যা করে এমন ক্ষেত্রে দুটি বিশেষ অবস্থা আগেই আলোচনা করা হয়েছে।

ত্রিমাত্রিক স্থানে (r, θ, φ) গোলকীয় স্থানাঙ্কে ê_r, ê_θ এবং ê_φ একক ভেক্টরত্রয়ের সংশ্লিষ্ট অবস্থান, বেগ এবং ত্বরণ যথাক্রমে—

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} \left(t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}\\\mathbf {v} &=v\mathbf {\hat {e}} _{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+r\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta \mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\\\mathbf {a} &=\left(a-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{r}\\&+\left(r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+2v{\frac {d\theta }{dt}}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\\&+\left(r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,\sin \theta +2v\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta +2r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\end{aligned}}\,\!}$

ধ্রুব φ এর ক্ষেত্রে এটা উপরের সমতলীয় সমীকরণসমূহে সংকুচিত হয়।

নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রটি দিয়ে গতির প্রথম সাধারণ সূত্রটির উন্নয়ন ঘটানো হয়েছে। নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রটিকে ভরবেগের পরিবর্তনের সূত্রও বলা হয়। নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রটি হল, গতিশীল বস্তুর ভরবেগের পরিবর্তনের হার এর উপর প্রযুক্ত বলের সমানুপাতিক এবং বল যে দিকে ক্রিয়া করে ভরবেগের পরিবর্তনও সেদিকে হবে।

ধরা যাক, বস্তুর ভরবেগ, p = p(t) = mv(t) এবং বল, F = F(x(t), v(t), t);

তাহলে বলের সমীকরণটি হবে [16]

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$ (সমানুপাতিক ধ্রুবককে ${\displaystyle 1}$ ধরা হয়েছে)।

এটি নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রটির অতি সাধারণ রূপ যা ভরবেগের পরিবর্তনের হার নির্দেশ করে। উল্লেখ্য যে, এখানে F হল বস্তুটির উপর প্রযুক্ত বল, আলোচনাধীন বস্তুটি দ্বারা অন্য বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল নহে।

এছাড়াও সমীকরণের ভরবেগকে ভর ও বেগের গুণন দ্বারা প্রতিস্থাপন করে নিম্নরূপেও লেখা যায়—

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$ (যেহেতু ভর m নিউটনীয় বলবিদ্যায় ধ্রুব)

সূত্রের এই রূপটি অধিক জনপ্রিয়।

নিউটনের দ্বিতীয সূত্রটি বিন্দুতে কাজ করে, যেমন কোন কণা এবং দৃঢ় বস্তুর অভ্যন্তরে যে কোন বিন্দু। এছাড়াও ভর সমষ্টি যেমন: আকারহীন কঠিন বা প্রবাহীর ক্ষেত্রেও এটি কাজ করে। প্রতিটি ক্ষেত্রেই গতি হিসেবে সিস্টেমের গতি বিবেচনা করা হয়। আরও জানতে Material derivative বা জড় অন্তরজ দেখুন। এক্ষেত্রে ভর ধ্রুবক নয়, ভর ও বেগের সময় ডেরিভেটিভের জন্য Product rule বা গুণের সূত্র ব্যবহার পর্যাপ্ত নয়। এবং নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রটির জন্য ভরবেগের সংরক্ষণের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ কিছু পরিবর্তন প্রয়োজন। দেখুন Variable-mass System বা পরিবর্তনযোগ্য-ভর ব্যবস্থা।

নিউটনের সূত্র ব্যবহার করে গতিসূত্রগুলোকে সহজে ভেক্টর আকারে লেখা যায় কিন্তু এর ফলে সমীকরণের অংশবিশেষে স্থানিক স্থানাঙ্ক ও সময়জনিত জটিলতা তৈরি হতে পারে যেগুলো সমাধান করা সহজ নয়। এসব সমস্যার পূর্ণাঙ্গ সমাধানের ক্ষেত্রে প্রায়ই বাড়তি চলকের আবির্ভাব ঘটে। তাই সকল সিস্টেমের গতি নির্ণয়ের ক্ষেত্রে নিউটনের সূত্রগুলো সবসময় সর্বাধিক কার্যকর পদ্ধতি নয়। কার্তেসীয় স্থানাংকে আয়তাকার জ্যামিতির সাধারণ সমস্যাগুলোতে নিউটনের সূত্রগুলো সুন্দরভাবে কাজ করলেও অন্যান্য স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় তা নাটকীয়ভাবে জটিল হয়ে পড়ে।

অধিক জটিল সিস্টেমের ক্ষেত্রে ভরবেগের সাধারণীকরণ করা হয়েছে এবং এটি বিশেষ ও সাধারণ আপেক্ষিকতাকে সাধারণীকরণ করে। একারণে ভরবেগ আকারটির ব্যবহার অধিক সুবিধাজনক। ( দেখুন: four-momentum বা চার-ভরবেগ)[16]। এছাড়াও ভরবেগের সংরক্ষণও ব্যবহার করা যেতে পারে। যাই হোক, কোন বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল লব্ধি বল ভরবেগকে প্রকাশ করে, নিউটনের সূত্রগুলো এই সত্যতার সাথে খুবই সঙ্গতিপূর্ণ হওয়ায় নিউটনের সূত্রগুলো ভরবেগের সংরক্ষণের তুলনায় অধিক মৌলিক নয়, যেখানে ভরবেগ নির্দেশকারী লব্ধি বল ধ্রুব নহে। একটি স্বতন্ত্র সিস্টেমের জন্য ভরবেগের সংরক্ষণ সর্বদাই সত্য যা লব্ধি বলের সাথে সম্পর্কিত নয়।

নির্দিষ্ট সংখ্যাক কণার ক্ষেত্রে, অন্যান্য কণার ন্যায় i কণার সমীকরণটি হবে—

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}\,\!}$

যেখানে, p_i = i কণার ভরবেগ, F_ij = i কণার উপর j কণা দ্বারা প্রযুক্ত বল, এবং F_E = বহিস্থ কোন উৎস দ্বারা ব্যবস্থাটির উপর প্রযুক্ত লব্ধি বল। i কণাটি কখনোই নিজেই নিজের উপর বল প্রয়োগ করে না। (দেখুন: Many-body problem বা বহু-বস্তু সমস্যা)

অয়লারের গতিসূত্রসমূহ নিউটনের সূত্রগুলোর অনুরূপ তবে এগুলো বিশেষকরে শুধু দৃঢ় বস্তুর গতির ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়। নিউটন-অয়লার সমীকরণ দৃঢ় বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল বল ও বলের ভ্রামক বা টর্কসমুহকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে সমন্বিত করে।

ঘূর্ণন গতির জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটির অনুরূপ সমীকরণটি হবে নিম্নরূপ—

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,,}$

এখানে বস্তুর উপর প্রযুক্ত টর্ক τ এর সাথে কৌণিক ভরবেগ L কে সমীকৃত করা হয়েছে।[17] সহজ কথায়, রৈখিক গতি সৃষ্টিকারী ফ্যাক্টরটি বল, অন্যদিকে কৌণিক গতি সৃষ্টিকারী ফ্যাক্টরটি হল টর্ক।

অনুরূপভাবে কৌণিক গতির ক্ষেত্রে ভরের সদৃশ রাশি হবে জড়তার ভ্রামক I (টেন্সর), যা ঘূর্ণনাক্ষের সাপেক্ষে বস্তুর ভরের বিন্যাস ও ঘূর্ণনাক্ষের অবস্থানের উপর নির্ভর করে। কৌণিক ত্বরণ α হল কৌণিক বেগের পরিবর্তনের হার।

${\displaystyle \therefore }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}.}$

পুণশ্চ, এই সমীকরণগুলো বিন্দুকণাতে বা দৃঢ় বস্তুর প্রতিটি বিন্দুতে প্রযুক্ত হয়।

অধিকন্তু ঘূর্ণন গতির ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট সংখ্যক কণার ক্ষেত্রে i কণার জন্য সমীকরণটি হবে—

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,,}$

যেখানে, L_i = i কণার কৌণিক ভরবেগ, τ_ij = i কণা উপর j কণা দ্বারা প্রযুক্ত টর্ক, এবং τ_E = ব্যবস্থাটির উপর বহিস্থ কোন উৎস দ্বারা প্রযুক্ত লব্ধি টর্ক। i কণাটি কখনোই নিজেই নিজের উপর টর্ক প্রয়োগ করে না।[17] [18]

নিম্নের তালিকা লক্ষ্য করলে রৈখিক গতি ও ঘূর্ণন গতির সাদৃশ্য আরও স্পষ্ট হবে—

	রৈখিক গতি	ঘূর্ণন গতি
i	রৈখিক সরণ ${\displaystyle \mathbf {s} }$	কৌণিক সরণ ${\displaystyle \theta }$
ii	রৈখিক বেগ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d{\mathbf {s} }}{dt}}}$	কৌণিক বেগ ${\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}}$
iii	রৈখিক ত্বরণ ${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {s} }{dt^{2}}}\,\!}$	কৌণিক ত্বরণ ${\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}}$
iv	রৈখিক গতি সৃষ্টিকারী বল ${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$	কৌণিক গতি সৃষ্টিকারী টর্ক ${\displaystyle \tau ={I}\alpha }$
v	রৈখিক ভরবেগ ${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {v} }$	কৌণিক ভরবেগ ${\displaystyle l={I}\omega }$
vi	বস্তুর ভর ${\displaystyle m}$	জড়তার ভ্রামক ${\displaystyle {I}=\sum {mr^{2}}}$
vii	রৈখিক গতিশক্তি ${\displaystyle E_{k}={\tfrac {1}{2}}m\mathbf {v} ^{2}}$	ঘূর্ণন গতিশক্তি ${\displaystyle E_{rot}={\tfrac {1}{2}}{I}\omega ^{2}}$

বিঃদ্রঃ উক্ত রাশিগুলো পারস্পরিক সদৃশ হলেও এরা কিন্তু পরস্পরের সমান নয়।

নিচে একটি সরল দোলকের গতির আলোকে এবং সাইনোসাইডাল বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন (সাইন তরঙ্গযুক্ত) ছন্দিত-স্পন্দকের গতির আলোকে নিউটনের গতিসূত্রগুলোর কিছু উদাহরণ দেওয়া হল[19]—

সরল দোলক: ${\displaystyle -mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(l\theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{l}}\sin \theta \,,}$

এবং ছন্দিত স্পন্দক: ${\displaystyle F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,.}$

মহাকর্ষ বলের দরুন ভরসমূহের গতিকে ব্যাখ্যা করার জন্য, নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রকে নিউটনের দ্বিতীয় গতিসূত্রের সাথে সমন্বিত করা যেতে পারে। নিচে দুটি উদাহরণ দেওয়া হল:

• R = R(r, t) (প্রতিরোধী বল) ভেক্টর ক্ষেত্রে উপর দিকে বায়ু প্রবাহের অনুকূলে m ভরের একটি বল নিক্ষেপ করা হল।

${\displaystyle \therefore }$ ${\displaystyle -{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A} \,\!}$

যেখানে, G = মহাকর্ষ ধ্রুবক, M = পৃথিবীর ভর, এবং A = R/m = বায়ু প্রবাহের দিকে r অবস্থানে ও t সময়ে প্রাসটির (বলটির) ত্বরণ।

• এবং অভিকর্ষের দরুন পরস্পরের সাথে মিথষ্ক্রিয়ারত N সংখ্যক কণার চিরায়ত N-বস্তু সমস্যা হল N সংখ্যক দ্বিতীয় ক্রমের অরৈখিক সংযোজিত সাধারণ ব্যবকলন সমীকরণসমূহের (ODE) একটি সেট।

যেমন ব্যবকলন সমীকরণ: ${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{i}m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})}$

যেখানে, i = 1, 2, …, N প্রতিটি কণার সাথে জড়িত ভর, অবস্থান ইত্যাদি রাশিকে চিহ্নিত করেছে।

কোন গোলকের মহাবৃত্তের (হলুদ বক্ররেখা) বৃত্তচাপসমূহই ঐ গোলকের জিওডেসিক। চিত্রে দেখানো গোলকের মতো দ্বিমাত্রিক-বহুভাঁজের উপর আঁকা ত্বরিত জিওডেসিকের দিক অনন্যভাবে নির্দিষ্ট হবে যদি বিচ্ছেদ ভেক্টর ξ ফাইডুসিয়াল (fiducial) জিওডেসিকের (সবুজ বক্ররেখা) উপর লম্ব হয়। s দূরত্বের পর বিচ্ছেদ ভেক্টর যখন ξ₀ থেকে ξ হয় তখন জিওডেসিকগুলো অসমান্তরাল হবে (জিওডেসিক চ্যুতি)[25]।

উপরের সমীকরণসমূহ সমতলীয় স্থানকালে কার্যকর। বক্র স্থানকালে কোন সরল রেখা থাকে না, সরলরেখাকে সেখানে বক্র স্থানকালটির জিওডেসিক দ্বারা সাধারণিকরণ এবং প্রতিস্থাপন করা হয়। (জিওডেসিক হল কোন বক্ররেখার দুটি বিন্দুর ক্ষুদ্রতম দূরত্ব)। যার ফলে এরূপ স্থানকালের যে কোন কিছু গাণিতিকভাবে আরও জটিল হয়ে পড়ে। g মেট্রিক টেন্সর যুক্ত বক্র বহুভাঁজের দরুন মেট্রিকটি বৃত্তচাপ দৈর্ঘ্যের ধারণা দেয়। (বিস্তারিত জানতে রেখা উপাদান দেখুন)। ব্যবকলনী চাপ দৈর্ঘ্যকে নিচে দেওয়া হল:[26]

${\displaystyle ds={\sqrt {g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}}}$

আর স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় জিওডেসিক সমীকরণটি হবে একটি দ্বিতীয় ক্রমের ব্যবকলনী সমীকরণ যার সাধারণ সমাধান হবে নিম্নোক্ত জিওডেসিক পরিবারভুক্ত:[27]

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}{\frac {dx^{\beta }}{ds}}}$

এখানে Γ ^μ_αβ হল একটি দ্বিতীয় প্রকার ক্রিস্টোফেল প্রতীক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাপেক্ষে যার মেট্রিক বিদ্যমান।

ভর-শক্তি বণ্টন প্রদানকারী আইনস্টাইনের ক্ষেত্র সমীকরণসমূহ (যাদেরকে পীড়ন-শক্তি টেন্সর T ^αβ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়) হল দ্বিতীয় ক্রমের অরৈখিক অংশক্রমে ব্যবকলনী সমীকরণ এবং এরা স্থানকালের বক্রতাকে পরোক্ষভাবে প্রকাশ করে যা মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রের সমতূল্য (সমতার মূলনীতি দেখুন)। বক্র স্থানকালে ভরের পতন মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে ভরের পতনের সমতূল্য — কারণ মহাকর্ষ হল কল্পিত বল। বক্র স্থানকালে একটি জিওডেসিক থেকে অন্য জিওডেসিকের আপেক্ষিক ত্বরণকে নিম্নরূপ জিওডেসিক চ্যুতি সমীকরণের মাধ্যমে লেখা যায়:—

${\displaystyle {\frac {D^{2}\xi ^{\alpha }}{ds^{2}}}=-R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}\xi ^{\gamma }{\frac {dx^{\delta }}{ds}}}$

যেখানে ξ^α = x₂^α − x₁^α হল জিওডেসিকের মধ্যে বিচ্ছেদ ভেক্টর, D/ds (not just d/ds) হল কোভেরিয়েন্ট অন্তরজ এবং R^α_βγδ হল ক্রিস্টোফেল প্রতীক সংবলিত রেইম্যান বক্রতা টেন্সর। অন্য কথায়, জিওডেসিক চ্যুতি সমীকরণ হল বক্র স্থানকালে ভরসমূহের গতির সমীকরণ যা তড়িচ্চুম্বকীয় ক্ষেত্রে আধানসমূহের লরেঞ্জ বল সমীকরণের সাথে তুলনাযোগ্য, [28]।

সমতলীয় স্থানকালের জন্য, মেট্রিকটি একটি ধ্রুব টেন্সর হয়, ফলে ক্রিস্টোফেল প্রতীক বিলুপ্ত হয়ে যায় এবং জিওডেসিক সমীকরণটির সরল রৈখিক সমাধান থাকে। ভরসমূহ নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রানুসারে গতিশীল হলেও ব্যবস্থাটি সীমাবদ্ধ আচরণ করবে।

সাধরণ আপেক্ষিকতায় ঘূর্ণন গতিকে স্পিন টেন্সরসহ আপেক্ষিক কৌণিক ভরবেগ টেন্সরের মাধ্যমে বর্ণনা করা হয়। স্পিন টেন্সর গতির সমীকরণগুলোকে প্রকৃত সময়ের সাপেক্ষে কোভেরিয়েন্ট অন্তরজের অধীনে নিয়ে আসে। ম্যাথিসন-পাপাপেট্রো–ডিকসন সমীকরণ মহাকর্ষ ক্ষেত্রে গতিশীল বস্তুর স্পিন গতি ব্যাখ্যা করে।

যেসব সমীকরণ কোন ক্ষেত্রের স্থানিক নির্ভরতা ও সময়ের বিবর্তনের বর্ণনা দেয় তাদেরকে ক্ষেত্র সমীকরণ বলা হয়। এগুলোর মধ্যে রয়েছে:—

• ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ যা তড়িচ্চুম্বকীয় ক্ষেত্রের বর্ণনা দেয়
• পয়সনের সমীকরণ যা নিউটনিয় মহাকর্ষ অথবা স্থির তড়িৎ ক্ষেত্র বিভবের বর্ণনা দেয়
• আইনস্টাইনের ক্ষেত্র সমীকরণ যা মহাকর্ষের বর্ণনা দেয় (নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র দুর্বল মহাকর্ষীয় ক্ষেত্র এবং স্বল্প গতির কণার জন্য বিশেষভাবে কার্যকর)।

এই পরিভাষাটি সার্বজনীন নয়: যেমন নেভিয়ার-স্টোকস সমীকরণগুলো একটি প্রবাহীর জন্য বেগ ক্ষেত্র প্রতিষ্ঠা করলেও এদেরকে সচরাচর ক্ষেত্র সমীকরণ বলা হয় না; এই প্রসঙ্গে এরা বরং প্রবাহীটির ভরবেগকে নির্দেশ করায় এদেরকে ক্ষেত্র সমীকরণ না বলে ভরবেগের সমীকরণ বলা হয়।

তরঙ্গ গতির সমীকরণগুলোই তরঙ্গ সমীকরণ। তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান থেকে বিস্তারের সময়-বিবর্তন এবং স্থানিক নির্ভরতা পাওয়া যায়। তরঙ্গ সমীকরণের সমাধানগুলো চলমান তরঙ্গ অথবা স্থির তরঙ্গ নির্দেশ করলে সীমা শর্তগুলো নির্ধারিত হয়।

গতির চিরায়ত সমীকরণ এবং ক্ষেত্র সমীকরণগুলো থেকে যান্ত্রিক, মহাকর্ষীয় তরঙ্গ এবং তড়িচ্চুম্বকীয় তরঙ্গ সমীকরণগুলো প্রতিপাদন করা যায়। সাধারণ রৈখিক তরঙ্গ সমীকরণের ত্রিমাত্রিক আকার হবে—

${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}X}$

এখানে, v হল দশা বেগ এবং X = X(r, t) হল যেকোন যান্ত্রিক অথবা তড়িচ্চুম্বকীয় ক্ষেত্রের বিস্তার। X নিম্নোক্ত প্রসঙ্গগুলো নির্দেশ করে[29]:—

• কম্পমান দণ্ড বা রড, তার (wire), রশি (cable), পর্দা ইত্যাদির অনুদৈর্ঘ্য অথবা অনুপ্রস্থ সরণ,
• কোন মাধ্যমের তরঙ্গায়িত চাপ, শব্দ চাপ,
• E বা D তড়িৎ ক্ষেত্র, B বা H চৌম্বক ক্ষেত্র,
• কোন পরিবর্তী প্রবাহ তড়িৎ বর্তনীর বিভব V অথবা তড়িৎ প্রবাহ I

v(X) দ্বারা v কে প্রতিস্থাপন করে, অরৈখিক সমীকরণগুলো থেকে বিস্তারের উপর দশাবেগের নির্ভরতার প্রতিরূপ পাওয়া যায়। এছাড়াও বিশেষ বিশেষ কার্যক্ষেত্রের জন্য অন্যান্য রৈখিক এবং অরৈখিক তরঙ্গ সমীকরণসমূহ রয়েছে। উদাহরণ স্বরূপ কর্টেভ–ডি ভ্রাইস সমীকরণ দেখা যেতে পারে।

কোয়ান্টম তত্ত্বে তরঙ্গ ও ক্ষেত্র উভয় ধারণাই দৃশ্যমান।

কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় তরঙ্গ-কণা দ্বৈত নীতি অনুসারে কণাসমূহের তরঙ্গ সদৃশ ধর্ম বিদ্যমান। কোয়ান্টাম বলবিদ্যার আলোকে গতির চিরায়ত সমীকরণগুলোর সাথে তুলনীয় সমীকরণগুলো (যেমন: নিউটনের সূত্র, অয়লার-ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণ, হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি সমীকরণ ইত্যাদি) হল নিম্নোক্ত আকারের অতি সাধারণ শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,}$

এখানে Ψ হল সিস্টেমের তরঙ্গফাংশন, Ĥ হল কোয়ান্টাম হ্যামিল্টনিয়ান অপারেটর যা চিরায়ত বলবিদ্যায় নিছকই একটি ফাংশন এবং ħ হল প্লাঙ্ক ধ্রুবক h এর 2π দ্বারা ভাগ। হ্যামিল্টনিয়ান প্রতিস্থাপন করে একে সমীকরণটিতে সন্নিবেশ করলে একটি তরঙ্গ সমীকরণ পাওয়া যাবে; একে সমাধান করলে তরঙ্গফাংশনটি (Ψ) পাওয়া যাবে যা স্থান ও কালের একটি ফাংশন। ħ শূন্য হয় এমন সীমায় আনুষঙ্গিক মূলনীতিটি বিবেচনা করা হলে শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি হ্যামিল্টন-জ্যাকোবি সমীকরণে রূপান্তরিত (reduce) হবে।

আপেক্ষিক কিংবা অ-আপেক্ষিক কোয়ান্টাম তত্ত্বের সকল পরিপ্রেক্ষিতে শ্রোডিঙ্গারের সমীকরণের বিকল্প অনেক বিধি রয়েছে যেগুলো কোয়ান্টাম ব্যবস্থার সময়-বিবর্তন এবং আচরণ নিয়ন্ত্রণ করে। উদাহরণ স্বরূপ:—

• যদি গতীয় পর্যবেক্ষগুলোকে তাদের কোয়ান্টাম অপারেটর দ্বারা এবং চিরায়ত পয়সন বন্ধনীকে কমিউটেটর দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয় তবে হাইজেনবার্গের গতির সমীকরণটি অবস্থান, ভরবেগ এবং সময়ের মত চিরায়ত পর্যবেক্ষণগুলোর (observables) সময়-বিবর্তনের সদৃশ হবে,
• অবস্থান এবং ভরবেগকে সম-পদবিক্ষেপে সন্নিবেশের মাধ্যমে [[দশা-স্থানস্থায়ীভাবে অকার্যকর সংযোগ] বিধি]] চিরায়ত হ্যামিল্টনিয়ান বলবিদ্যাকে ঘনিষ্ঠভাবে অনুসরণ করে,
• হ্যামিল্টনিয়ান অপেক্ষা ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান প্রয়োগের পক্ষে অধিক গুরুত্ব দেওয়ার মাধ্যমে, ফাইনম্যানের পথ সমাকলন বিধি ন্যূনতম ক্রিয়ার মূলনীতিকে কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় এবং ক্ষেত্র তত্ত্বে সম্প্রসারিত করে।