Матэрыяльныя ўраўненні

Для поўнага вызначэння электрамагнітнага поля ўраўненні Максвела неабходна дапоўніць матэрыяльнымі раўнаннямі, якія звязваюць вектары${\displaystyle \mathbf {D} }$ і ${\displaystyle \mathbf {E} }$ (а таксама ${\displaystyle \mathbf {H} }$ і ${\displaystyle \mathbf {B} }$) у рэчыве. У вакууме гэтыя вектары супадаюць, а ў рэчыве сувязь паміж імі часта мяркуюць лінейнай:

${\displaystyle \mathbf {D} _{i}=\sum \limits _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {E} _{j}}$

Велічыні ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ўтвараюць тэнзар дыэлектрычнай пранікальнасці. У прынцыпе, ён можа залежаць як ад кропкі ўнутры цела, так і ад частаты ваганняў электрамагнітнага поля. У ізатропных асяроддзях тэнзар дыэлектрычнай пранікальнасці зводзіцца да скаляра, так званай дыэлектрычнай пранікальнасці. Матэрыяльныя ўраўненні для ${\displaystyle \mathbf {D} }$ набываюць просты выгляд

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$

Магчымыя асяроддзі, для якіх залежнасць паміж ${\displaystyle \mathbf {D} }$ і ${\displaystyle \mathbf {E} }$ з'яўляецца нелінейнай (у асноўным — сегнетаэлектрыкі).

Межавыя ўмовы

На мяжы двух рэчываў скачок нармальнай кампаненты ${\displaystyle D_{n}}$ вектара ${\displaystyle \mathbf {D} }$ вызначаецца паверхневай шчыльнасцю свабодных зарадаў:

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}(\mathbf {r} +\epsilon \mathbf {n} )-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}(\mathbf {r} -\epsilon \mathbf {n} )\right)=4\pi \sigma (\mathbf {r} )}$ (у СГС)

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\left({\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}(\mathbf {r} +\epsilon \mathbf {n} )-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}(\mathbf {r} -\epsilon \mathbf {n} )\right)={\frac {\sigma (\mathbf {r} )}{\varepsilon _{0}}}}$ (у СІ)

Тут ${\displaystyle {\tfrac {\partial \mathbf {D} }{\partial n}}=(\mathbf {n}$ ;\nabla )\mathbf {D} }  — нармальная вытворная, ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — кропка на паверхні раздзела, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ — вектар нармалі да гэтай паверхні у дадзенай кропцы, ${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} )}$ — паверхневая шчыльнасць свабодных зарадаў. Ураўненне не залежыць ад выбару нармалі (знешняй або ўнутранай). У прыватнасці, для дыэлектрыкаў ураўненне азначае, што нармальная кампанента вектара ${\displaystyle \mathbf {D} }$ непарыўная на мяжы асяроддзяў. Простага ўраўнення для датычнага складніка ${\displaystyle \mathbf {D} }$ запісаць нельга, ён павінен вызначацца з межавых умоў для ${\displaystyle \mathbf {E} }$ і матэрыяльных ўраўненняў.