Цялесны вугал | |
---|---|
Вывучаецца ў | стэрэаметрыя |
ISQ dimension | |
Формула, якая апісвае закон або тэарэму | [1] |
Пазначэнне ў формуле | , і |
Сімвал велічыні (LaTeX) | |
Рэкамендуемая адзінка вымярэння | стэрадыян[2][3][…] і 1[2] |
Медыяфайлы на Вікісховішчы |
Цялесны вугал — частка прасторы, якая з’яўляецца аб’яднаннем усіх прамянёў, якія выходзяць з дадзенай кропкі (вяршыні вугла) і перасякаюць некаторую паверхню (якая называецца паверхняй, якая сцягвае дадзены цялесны вугал). Асобнымі выпадкамі цялеснага вугла з’яўляюцца трохгранныя і шматгранныя вуглы. Мяжой цялеснага вугла з’яўляецца некаторая канічная паверхня.
Цялесны вугал вымяраецца адносінай плошчы той часткі сферы з цэнтрам у вяршыні вугла, якая выражаецца гэтым цялесным вуглом, да квадрата радыуса сферы:
Відавочна, цялесныя вуглы вымяраюцца адцягненымі (безразмернымі) велічынямі. Адзінкай вымярэння цялеснага вугла ў сістэме СІ з’яўляецца стэрадыян, роўны цялеснаму вуглу, выразаючаму са сферы радыуса паверхню з плошчай . Поўная сфера ўтварае цялесны вугал, роўны стэрадыян (поўны цялесны вугал), для вяршыні, размешчанай унутры сферы, у прыватнасці, для цэнтра сферы; такім жа з’яўляецца цялесны вугал, пад якім бачна любая замкнёная паверхня з кропкі, якая цалкам ахопліваецца гэтай паверхняй, але не належыць ёй. Акрамя стэрадыянаў, цялесны вугал можа вымярацца ў квадратных градусах, квадратных хвілінах і квадратных секундах, а таксама ў долях поўнага цялеснага вугла.
Цялесны вугал мае нулявую фізічную размернасць.
Пазначаецца цялесны вугал звычайна літарай .
Дваісты цялесны вугал да дадзенага цялеснага вугла вызначаецца як вугал, які складаецца з прамянёў, якія ўтвараюць з любым прамянём вугла нявостры вугал.
Каэфіцыенты пераліку адзінак цялеснага вугла.
Стэрадыян | Кв. градус | Кв. хвіліна | Кв. секунда | Поўны вугал | |
---|---|---|---|---|---|
1 стэрадыян = | (180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусаў | (180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103×107 кв. хвілін | (180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517×1010 кв. секунд | 1/4π ≈ ≈ 0,07957747 поўнага вугла | |
1 кв. градус = | (π/180)² ≈ ≈ 3,0461742×10−4 стэрадыян | 60² = = 3600 кв. хвілін | (60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд | π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068×10−5 поўнага вугла | |
1 кв. хвіліна = | (π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595×10−8 стэрадыян | 1/60² ≈ ≈ 2,7777778×10−4 кв. градусаў | 60² = = 3600 кв. секунд | π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335×10−9 поўнага вугла | |
1 кв. секунда = | (π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305×10−11 стэрадыян | 1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938×10−8 кв. градусаў | 1/60² ≈ ≈ 2,7777778×10−4 кв. хвілін | π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315×10−12 поўнага вугла | |
Поўны вугал = | 4π ≈ ≈ 12,5663706 стэрадыян | (2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусаў | (2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066×108 кв. хвілін | (2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378×1011 кв. секунд |
Вылічэнне цялесных вуглоў
Для адвольнай сцягвальнай паверхні цялесны вугал , пад якім яна бачная з пачатку каардынат, роўны
дзе — сферычныя каардынаты элемента паверхні — яго радыус-вектар, — адзінкавы вектар, нармальны да
Уласцівасці цялесных вуглоў
- Поўны цялесны вугал (поўная сфера) роўны стэрадыян.
- Сума ўсіх цялесных вуглоў, дваістых да ўнутраных цялесных вуглоў выпуклага шматгранніка, роўная поўнаму вуглу.
Велічыні некаторых цялесных вуглоў
- Трохвугольнік з каардынатамі вяршынь , , бачны з пачатку каардынат пад цялесным вуглом
дзе — змешаны здабытак дадзеных вектараў, — скалярны здабытак адпаведных вектараў, паўтлустым шрыфтам пазначаныя вектары, нармальным шрыфтам — іх даўжыні. Па гэтай формуле можна вылічаць цялесныя вуглы, сцягнутыя адвольнымі шматвугольнікамі з вядомымі каардынатамі вяршынь (для гэтага дастаткова разбіць многавугольнік на неперасякальныя трохвугольнікі).
- Цялесны вугал пры вяршыні прамога кругавога конуса з вуглом раствора α роўны . Калі вядомы радыус асновы і вышыня конуса, то .
Калі вугал раствора конуса малы, ( выражана ў радыянах), ці ( выражана ў градусах). Так, цялесны вугал, пад якім з Зямлі бачныя Месяц і Сонца (іх вуглавы дыяметр прыкладна роўны 0,5°), складае каля 6.10−5 стэрадыян, або ≈ 0,0005 % плошчы нябеснай сферы (гэта значыць поўнага цялеснага вугла).
- Цялесны вугал двухграннага вугла ў стэрадыянах роўны падвоенаму значэнню двухграннага вугла ў радыянах:
- Цялесны вугал трохграннага вугла выражаецца па тэарэме Люілье праз яго плоскія вуглы пры вяршыні як:
- , где — паўперыметр.
- Праз двухгранныя вуглы цялесны вугал выражаецца як:
- Цялесны вугал пры вяршыні куба (або любога іншага прамавугольнага паралелепіпеда) роўны поўнага цялеснага вугла, або стэрадыян.
- Цялесны вугал, пад якім бачная грань правільнага N-гранніка з яго цэнтра, роўны поўнага цялеснага вугла, або стэрадыян.
Гл. таксама
- Вугал
- Двухгранны вугал
- Трохгранны вугал
- Шматгранны вугал
Зноскі
- ↑ 3-6 // Quantities and units—Part 3: Space and time — 1 — ISO, 2006. — 19 p.
- 1 2 3-8 // Quantities and units — Part 3: Space and time, Grandeurs et unités — Partie 3: Espace et temps — 2 — ISO, 2019. — 11 p.
- ↑ SI A concise summary of the International System of Units, SI — 2019.