Доказ манатоннасці

Няхай ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$. Тады ${\displaystyle (-\infty ,x_{1})\subset (-\infty ,x_{2})}$, і таму

$${\displaystyle \xi ^{-1}(-\infty ,x_{1})\subset \xi ^{-1}(-\infty ,x_{2}),}$$

гэта значыць ${\displaystyle (\xi <x_{1})\subset (\xi <x_{2})}$.

Карыстаючыся манатоннасцю імавернасці, атрымліваем

$${\displaystyle F(x_{1})=P(\xi <x_{1})\leq P(\xi <x_{2})=F(x_{2}).}$$

Доказ абмежаванасці

Няроўнасць ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}$ відавочна вынікае з ${\displaystyle 0\leq P(\xi <x)\leq 1}$.

Разгледзім улучэнні ${\displaystyle (-\infty ,-1)\supset (-\infty ,-2)\supset \dots \,}$. Заўважым, што ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }(-\infty ,-n)=\varnothing }$. Акрамя таго,

$${\displaystyle \xi ^{-1}(-\infty ,-1)\supset \xi ^{-1}(-\infty ,-2)\supset \dots ,}$$

$${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }\xi ^{-1}(-\infty ,-n)=\xi ^{-1}\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }(-\infty ,-n)\right)=\xi ^{-1}(\varnothing )=\varnothing .}$$

Па аксіёме непарыўнасці імавернасці атрымліваем

$${\displaystyle \lim _{n\to -\infty }F(n)=\lim _{n\to +\infty }P(\xi ^{-1}(-\infty ,-n))=0}$$

для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. Няхай цяпер ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ імкнецца да ${\displaystyle -\infty }$. З манатоннасці функцыі размеркавання вынікае ${\displaystyle F([x])\leq F(x)\leq F([x]+1).}$ Калі ${\displaystyle x\to -\infty }$, абедзве крайнія часткі няроўнасці імкнуцца да нуля. Карыстаючыся тэарэмай аб заціснутай функцыі, атрымліваем

$${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0.}$$

Прадставім ${\displaystyle \mathbb {R} }$ як суму ${\displaystyle (-\infty ,0)+[0,1)+[1,2)+\dots }$ і, скарыстаўшы злічоную адытыўнасць, атрымаем

$${\displaystyle 1=P_{\xi }(\mathbb {R} )=P_{\xi }((-\infty ,0))+\sum _{k=0}^{+\infty }P_{\xi }([k,k+1))=}$$

$${\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }\left(P_{\xi }((-\infty ,0))+\sum _{k=0}^{n-1}P_{\xi }([k,k+1))\right)=}$$

$${\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,0)+[0,1)+[1,2)+\dots +[n-1,n))=}$$

$${\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,n))=\lim _{n\to +\infty }F(n)}$$

для ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$. Доказ для ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ праводзіцца аналагічна папярэдняму выпадку праз тэарэму аб заціснутай функцыі.

Доказ непарыўнасці злева

Возьмем адвольную нарастальную паслядоўнасць рэчаісных лікаў ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$, якая збягаецца да ${\displaystyle x_{0}}$. Існаванне ліміту ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}F(x)}$ вынікае з манатоннасці ${\displaystyle F}$. Пакажам, што гэты ліміт роўны ${\displaystyle F(x_{0})}$.

Заўважым, што ${\displaystyle \varnothing =\bigcup _{n=1}^{\infty }[x_{n},x_{0})}$ і ${\displaystyle [x_{n},x_{0})\supset [x_{n+1},x_{0})\,\forall n\in \mathbb {N} }$. Карыстаючыся аксіёмамі непарыўнасці і адытыўнасцю імавернасці, атрымліваем

${\displaystyle 0=\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }([x_{n},x_{0}))=\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,x_{0})\setminus ((-\infty ,x_{n}))=}$
${\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }(P_{\xi }((-\infty ,x_{0}))-P_{\xi }((-\infty ,x_{n})))=}$
${\displaystyle =F(x_{0})-\lim _{x_{n}\to x_{0}}F(x_{n}).}$
Адсюль вынікае ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}F(x)=F(x_{0})}$.