Тэорыя імавернасцей
Імавернасць Аксіёмы Выпадковасць
Імавернасная прастора Геаметрычная імавернасць Прастора элементарных падзей Выпрабаванне Выпадковая падзея Поўная група падзей
Выпадковая велічыня Матэматычнае спадзяванне Дысперсія Размеркаванне імавернасцей Бернулі Біномнае Нармальнае Імавернасная мера
Умоўная імавернасць Незалежнасць Тэарэма множання імавернасцей Формула поўнай імавернасці Тэарэма Баеса
Закон вялікіх лікаў Цэнтральная лімітавая тэарэма

Формула поўнай імавернасці дае магчымасць падлічыць імавернасць падзеі праз умоўныя імавернасці гэтай падзеі ў дапушчэнні некаторых гіпотэз і імавернасці гэтых гіпотэз.

Фармулёўка

Калі ${\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\}}$ — поўная група падзей і ${\displaystyle P(A_{j})>0}$ для ўсіх ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$, то для кожнай падзеі ${\displaystyle B}$ справядліва роўнасць

$${\displaystyle P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).}$$

У формуле поўнай імавернасці падзеі ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ завуцца гіпотэзамі. Імавернасць ${\displaystyle P(B|A_{k})}$ завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць ${\displaystyle B}$ пры выкананні гіпотэзы ${\displaystyle A_{k}}$»^[1]:37.

Доказ

Распішам ${\displaystyle B}$ як

$${\displaystyle B=\Omega B=(A_{1}+A_{2}+\dots +A_{n})B=A_{1}B+A_{2}B+\dots +A_{n}B,}$$

дзе ${\displaystyle \Omega }$ — прастора элементарных падзей, а ўсе падзеі ${\displaystyle A_{k}B}$ парамі дыз’юнктныя. Дастасоўваючы ўласцівасць канечнай адытыўнасці і тэарэму множання імавернасцей, атрымліваем

$${\displaystyle P(B)=P\left(\sum _{k=1}^{n}A_{k}B\right)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).}$$

Гл. таксама

• Формула поўнага матэматычнага спадзявання

Зноскі