Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

Фактаргрупа — канструкцыя, якая дае новую групу (фактаргрупу) па групе і яе нармальнай падгрупе.

Фактаргрупа групы ${\displaystyle G}$ па нармальнай падгрупе ${\displaystyle H}$ звычайна абазначаецца ${\displaystyle G/H}$.

Вызначэнне

Няхай ${\displaystyle G}$ — група, і ${\displaystyle H}$ — яе нармальная падгрупа. Тады на класах сумежнасці ${\displaystyle H}$ у ${\displaystyle G}$

${\displaystyle aH=\{\,ah\mid \,h\in H\}}$

можна ўвесці множанне:

${\displaystyle (aH)(bH)=abH}$

Лёгка праверыць, што гэтае памнажэнне не залежыць ад выбару элементаў у класах сумежнасці, гэта значыць калі ${\displaystyle aH=a'H}$ і ${\displaystyle bH=b'H}$, то ${\displaystyle abH=a'b'H}$. Гэтае множанне вызначае структуру групы на мностве класаў сумежнасці, а атрыманая група ${\displaystyle G/H}$ называецца фактаргрупай ${\displaystyle G}$ па ${\displaystyle H}$.

Уласцівасці

• Тэарэма аб гомамарфізме: Для любога гомамарфізма ${\displaystyle \varphi :G\to K}$

${\displaystyle G/\mathrm {Ker} \,\varphi \cong \varphi (G)}$,

г. зн. фактаргрупа ${\displaystyle G}$ па ядру ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\varphi }$ ізаморфна яе вобразу ${\displaystyle \varphi (G)}$ у ${\displaystyle K}$.

• Адлюстраванне ${\displaystyle a\mapsto aH}$ задае натуральны гомамарфізм ${\displaystyle G\to G/H}$.
• Парадак ${\displaystyle G/H}$ роўны індэксу падгрупы ${\displaystyle [G:H]}$. У выпадку канечнай групы ${\displaystyle G}$ ён роўны ${\displaystyle |G|/|H|}$.
• Калі ${\displaystyle G}$ абелева, нільпатэнтная, вырашальная, цыклічная або канечнаспароджаная, то і ${\displaystyle G/H}$ будзе мець тыя жа ўласцівасці.
• ${\displaystyle G/G}$ ізаморфная трывіяльнай групе (${\displaystyle \{e\}}$), ${\displaystyle G/{e}}$ ізаморфная ${\displaystyle G}$.

Прыклады

• Няхай ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle H=2\mathbb {Z} }$, тады ${\displaystyle G/H}$ ізаморфная ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.

• Няхай ${\displaystyle G=\mathbf {UT} _{n}}$ (група нявыраджаных верхнетрохвугольных матрыц), ${\displaystyle H=\mathbf {SUT} _{n}}$ (група верхніх унітрохвугольных матрыц), тады ${\displaystyle G/H}$ ізоморфна групе дыяганальных матрыц.

Літаратура

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — м: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.