Тэорыя Эйнштэйна — Картана (ЭК) была распрацавана як пашырэнне агульнай тэорыі адноснасці, унутрана ўключае ў сябе апісанне ўздзеяння на прастору-час акрамя энергіі-імпульсу таксама і спіна матэрыяльных палёў^[1]. У тэорыі ЭК ўводзіцца афіннае кручэнне, а замест псеўдарыманавай геаметрыі для прасторы-часу выкарыстоўваецца геаметрыя Рымана — Картана. У выніку ад метрычнай тэорыі пераходзяць да афіннай тэорыі прасторы-часу. Выніковыя ўраўненні для апісання прасторы-часу распадаюцца на два класы. Адзін з іх аналагічны агульнай тэорыі адноснасці, з тым адрозненнем, што ў тэнзар крывізны ўключаны кампаненты з афінным кручэннем. Другі клас ураўненняў задае сувязь тэнзара кручэння і тэнзара спіна матэрыі і выпрамянення. Атрыманыя папраўкі да агульнай тэорыі адноснасці ва ўмовах сучаснага Сусвету настолькі малыя, што пакуль не відаць нават гіпатэтычных шляхоў для іх вымярэння.

Стан тэорыі і яе асноўныя ўраўненні

Тэорыя Картана стаіць асобна сярод альтэрнатыўных тэорый гравітацыі як таму, што яна неметрычная, так і таму, што яна вельмі старая. Стан тэорыі Картана няясны. Уіл (1986) сцвярджае, што ўсе неметрычныя тэорыі супярэчаць эйнштэйнаўскаму прынцыпу эквівалентнасці (ЭПЭ), і таму павінны быць адкінутыя. У адной з наступных работ Уіл (2001), змякчае гэта сцвярджэнне, растлумачваючы эксперыментальныя крытэрыі тэсціравання неметрычных тэорый на адпаведнасць ЭПЭ. Мізнер, Торн і Уілер (1973) сцвярджаюць, што тэорыя Картана з’яўляецца адзінай неметрычнай тэорыяй, якая праходзіць усе эксперыментальныя тэсты, а Турышаў (2007) прыводзіць гэтую тэорыю ў спісе тэорый, якія задавальняюць усім бягучым эксперыментальным абмежаванням.

Картан (1922, 1923) прапанаваў простае абагульненне тэорыі гравітацыі Эйнштэйна, увёўшы мадэль прасторы-часу з метрычным тэнзарам і лінейнай звязнасцю, асацыяванай з метрыкай, але не абавязкова сіметрычнай. Антысіметрычная частка звязнасці — тэнзар кручэння — звязваецца ў гэтай тэорыі са шчыльнасцю ўнутранага моманту імпульсу (спіна) матэрыі. Незалежна ад Картана, падобныя ідэі развівалі Сіяма, Кібл і Хэйл у прамежку ад 1958 да 1966 года.

Зыходна тэорыя была развіта ў фармалізме дыферэнцыяльных форм, але тут яна будзе выкладзена на тэнзарнай мове. Лагранжава шчыльнасць гравітацыі ў гэтай тэорыі фармальна супадае са сваім адпаведнікам у АТА і роўная скаляру крывізны:

${\displaystyle L={1 \over 16\pi G}R(\Gamma ,g)\;,}$

аднак увядзенне кручэння мадыфікуе звязнасць, якая цяпер не раўняецца сімвалам Крыстофеля, а роўная іх суме з тэнзарам канторсіі

${\displaystyle \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }=\left\{{^{\ \mu \ }_{\;\nu \lambda \;}}\right\}+K_{\nu \lambda }^{\mu }\;,}$

${\displaystyle K_{\mu \nu \lambda }=Q_{\mu \nu \lambda }+Q_{\lambda \nu \mu }+Q_{\nu \lambda \mu },\qquad Q_{\mu \nu \lambda }={\frac {1}{2}}(\Gamma _{\mu \nu \lambda }-\Gamma _{\mu \lambda \nu })\;,}$

дзе ${\displaystyle Q_{\mu \nu \lambda }\;}$ — антысіметрычная частка лінейнай звязнасці — кручэнне. Мяркуецца, што лінейная звязнасць з’яўляецца метрычнай, што зніжае колькасць ступеней свабоды, уласцівых неметрычным тэорыям. Ураўненні руху гэтай тэорыі ўключаюць 10 ураўненняў для тэнзара энергіі-імпульсу, 24 ўраўненні для кананічнага тэнзара спіна і ўраўненні руху матэрыяльных негравітацыйных палёў^[1]:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+4{B^{[\alpha }}_{\beta \mu }{B^{\beta ]}}_{\alpha \nu }+2B_{\beta \alpha \mu }{B_{\nu }}^{\beta \alpha }-B_{\mu \beta \alpha }{B_{\nu }}^{\beta \alpha }-}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }(4{{B_{\alpha }}^{\beta }}_{[\lambda }{B^{\alpha \lambda }}_{\beta ]}+B_{\alpha \beta \gamma }B^{\alpha \beta \gamma })=\kappa T_{\mu \nu }\;,}$

${\displaystyle {Q^{\lambda }}_{\mu \nu }+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }=\kappa {s^{\lambda }}_{\mu \nu }\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \phi _{A}}}+(\nabla _{\lambda }-2Q_{\lambda }){\frac {\partial L}{\partial \nabla _{\lambda }\phi _{A}}}=0\;,}$

дзе ${\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\delta }{\delta g^{\mu \nu }}}({\sqrt {-g}}L_{m})\;}$ — метрычны тэнзар энергіі-імпульсу матэрыі, ${\displaystyle s_{\mu \nu }^{\lambda }={\frac {\delta L_{m}}{\delta Q_{\lambda }^{\mu \nu }}}\;}$ — кананічны тэнзар спіна, ${\displaystyle {B^{\lambda }}_{\mu \nu }={Q^{\lambda }}_{\mu \nu }+{\delta _{\mu }}^{\lambda }Q_{\nu }-{\delta _{\nu }}^{\lambda }Q_{\mu }\;}$, а ${\displaystyle Q_{\mu }={Q^{\lambda }}_{\mu \lambda }\;}$ — след тэнзара кручэння.

Крывізна прасторы-часу пры гэтым — не рыманава, але на рыманавай прасторы-часе лагранжыян зводзіцца да лагранжыяна АТА. Эфекты неметрычнасці ў дадзенай тэорыі з’яўляюцца настолькі малымі, што іх можна не ўлічваць нават у нейтронных зорках. Адзінай вобласцю моцных разыходжанняў аказваецца, магчыма, вельмі ранні Сусвет. Прывабнай рысай гэтай тэорыі (і яе мадыфікацый) з’яўляецца магчымасць атрымання несінгулярных рашэнняў тыпу «адскоку» для Вялікага Выбуху.

Зноскі

Гл. таксама

• Калібровачная тэорыя гравітацыі
• Альтэрнатыўныя тэорыі гравітацыі