Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля

Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля — адна з фундаментальных тэарэм класічнай электрадынамікі, сфармуляваная Андрэ Мары Амперам ў 1826 годзе. У 1861 году Джэймс Максвел зноў вывеў гэтую тэарэму, абапіраючыся на аналогіі з гідрадынамікай, і абагульніў яе (гл. ніжэй). Ураўненне, якое прадстаўляе сабой змест тэарэмы у гэтым абагульненым выглядзе, уваходзіць у лік ураўненняў Максвела. (Для выпадку пастаянных электрычных палёў - гэта значыць у прынцыпе ў магнітастатыцы - верная тэарэма ў першапачатковым выглядзе, які сфармуляваў Ампер і прыведзены у артыкуле першым; для агульнага выпадку правая частка павінна быць дапоўнена членам з вытворнай напружанасці электрычнага поля па часе - гл ніжэй). Тэарэма абвяшчае:

Цыркуляцыя магнітнага поля пастаянных токаў па ўсякім замкнёным контуры прапарцыйная суме сіл токаў, пранізлівых контур цыркуляцыі.

Гэтая тэарэма, асабліва ў замежнай або перакладной літаратуры, называецца таксама тэарэмай Ампера або законам Ампера пра цыркуляцыю (англ. Ampère's circuital law). Апошняя назва мае на ўвазе разгляд закона Ампера ў якасці больш фундаментальнага сцвярджэнні, чым закон Біё — Савара — Лапласа, які ў сваю чаргу разглядаецца ўжо ў якасці следства (што, у цэлым, адпавядае сучаснаму варыянту пабудовы электрадынамікі).

Для агульнага выпадку (класічнай) электрадынамікі формула павінна быць дапоўненая ў правай частцы членам, якія змяшчаюць вытворную па часе ад электрычнага поля (гл. ураўненні Максвела, а таксама параграф «Абагульненне» ніжэй). У такім дапоўненым выглядзе яна ўяўляе сабой чацвёртае ураўненне Максвела ў інтэгральнай форме.

Матэматычная фармулёўка

У матэматычнай фармулёўцы для магнітастатыкы тэарэма мае ^[1] наступны выгляд^[2]:

\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}

Тут ${\vec {B}}$ — вектар магнітнай індукцыі, ${\vec {j}}$ — шчыльнасць току; інтэграванне злева вырабляецца па адвольным замкнёным контуры, справа — па адвольнай паверхні, нацягнутай на гэты контур. Дадзеная форма носіць назву інтэгральнай, паколькі ў відавочным выглядзе ўтрымлівае інтэграванне. Тэарэма можа быць таксама прадстаўлена ў дыферэнцыяльнай форме:

\mathrm {rot} \ {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}

Эквівалентнасць інтэгральнай і дыферэнцыяльнай формаў вынікае з тэарэмы Стокса.

Прыведзеная вышэй форма справядлівая для вакууму. У выпадку ўжывання яе ў асяроддзі (рэчыве), яна будзе карэктная толькі ў выпадку, калі пад j разумець наогул усё токі, гэта значыць ўлічваць і «мікраскапічныя» токі, бягучыя в рэчыве, у тым ліку «мікраскапічныя» токі, бягучыя у абласцях памерамі парадку памеру малекулы (гл. дыямагнетыкі) і магнітныя моманты мікрачасцін (см.напрыклад ферамагнетыкі).

Таму ў рэчыве, калі не грэбаваць яго магнітнымі ўласцівасцямі, часта зручна з поўнага току вылучыць ток намагнічанага (гл. звязаныя токі), выказаўшы яго праз велічыню намагнічанасць $I$ і увёўшы вектар напружанасці магнітнага поля

{\vec {H}}={\vec {B}}-4\pi {\vec {I}}

Тады тэарэма пра цыркуляцыю запішацца ў форме

\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}_{f}\cdot {\vec {ds}}

\mathrm {rot} \ {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}_{f},

дзе пад ${\vec {j}}_{f}$ (у адрозненне ад ${\vec {j}}$ ў формуле вышэй) маюцца на ўвазе т. зв. свабодныя токі, у якіх ток намагнічання выключаны (што бывае зручна практычна, паколькі ${\vec {j}}_{f}$ - гэта звычайна ўжо ў сутнасці макраскапічныя токі, якія не звязаны з намагнічаныя рэчывы і якія ў прынцыпе няцяжка непасрэдна вымераць)^[3].

У дынамічным выпадку - гэта значыць, у агульным выпадку класічнай электрадынамікі - калі палі змяняюцца ў часе (а ў асяроддзях пры гэтым змяняецца і іх палярызацыя) - і гаворка тады ідзе аб абагульненай тэарэме, у якую ўваходзяць $d{\vec {E}}/dt$ , - усё сказанае вышэй адносіцца і да мікраскапічным токах, звязаных з зменамі палярызацыі дыэлектрыка. Гэтая частка токаў тады ўлічваецца ў члене $d{\vec {D}}/dt$ .

Абагульненне

Асноўным фундаментальным абагульненнем ^[4] тэарэмы з'яўляецца чацвёртае ураўненне Максвела. У інтэгральнай форме яно з'яўляецца прамым абагульненнем на дынамічны выпадак магнітостатычнай формулы, прыведзенай вышэй. Для вакууму ^[5]:

\oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{c}}\int (4\pi {\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})\cdot {\vec {ds}}

для асяроддзя^[6]:

\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.

(Як бачым, формулы адрозніваюцца ад прыведзеных вышэй толькі адным дадатковым членам з хуткасцю змены электрычнага поля ў правай часткі).

Дыферэнцыяльную форму гэтага ураўнення:

\mathbf {rot} {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}},

\mathbf {rot} {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {D}}

(у гаусавай сістэме, для вакууму і асяроддзя адпаведна) - таксама можна пры жаданні лічыць варыянтам абагульнення тэарэмы пра цыркуляцыю магнітнага поля, паколькі яна, вядома, цесна звязана з інтэгральнай.

Практычнае значэнне

Магнітнае поле прамалінейнага правадніка з токам.

Тэарэма пра цыркуляцыю гуляе ў магнітастатыцы прыблізна тую ж ролю, што і тэарэма Гауса ў электрастатыцы. У прыватнасці, пры наяўнасці пэўнай сіметрыі задачы, яна дазваляе проста знаходзіць велічыню магнітнага поля ва ўсім прасторы па зададзеных токах. Напрыклад, для вылічэння магнітнага поля ад бясконцага прамалінейнага правадніка з токам па закону Біё — Савара — Лапласа спатрэбіцца вылічыць невідавочны інтэграл, у той час як тэарэма пра цыркуляцыю (з улікам восевай сіметрыі задачы) дазваляе даць імгненны адказ:

B(r)\cdot 2\pi r={\frac {4\pi }{c}}I\to B(r)={\frac {2I}{cr}}

.

Зноскі

↑ Прыведзена тут у гаусавай сістэме адзінак, у сістэме СІ канстанта ў правай частцы замест ${\frac {4\pi }{c}}$ запісваецца як $\mu _{0}$ .
↑ тут і ніжэй выкарыстаная сістэма СГС, у сістэме СІ каэфіцыенты адсутнічаюць
↑ На практыцы пры напісанні ураўненняў для асяроддзя індэкс f у токаў як правіла апускаецца, пішацца проста ${\vec {j}}$ . Таксама часта не робіцца агаворак аб тым, што гэта менавіта «свабодныя» токі. У такой фенаменалагічнай тэорыі ніякіх іншых токаў відавочна не разглядаецца, хоць насамрэч (фізічна) звязаныя токі, вядома, ёсць, проста «схаваныя» ў іншыя велічыні - ${\vec {I}},{\vec {H}}$ т.п. і фармальна выключаны з разгляду.
↑ Паколькі гэта абагульненне грунтуецца на вернасці магнітастатычнага варыянту тэарэмы Ампера пра цыркуляцыю магнітнага поля і захаванні зарада (якое можа быць прынята як пастулат) і можа быць паказана досыць строга адпаведнасць абагульненага ўраўненні гэтых двух пасылкам, а пры накладанні пэўных дадатковых умоў - і адзінасць такога абагульнення, яно ў прынцыпе можа быць таксама сфармулявана ў выглядзе тэарэмы.
↑ У гаусавай сістэме адзінак.
↑ У асноўным тэксце — у СГС. У СІ — так:
$\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.$

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Прыведзена тут у гаусавай сістэме адзінак, у сістэме СІ канстанта ў правай частцы замест ${\frac {4\pi }{c}}$ запісваецца як $\mu _{0}$ .

[2] тут і ніжэй выкарыстаная сістэма СГС, у сістэме СІ каэфіцыенты адсутнічаюць

[3] На практыцы пры напісанні ураўненняў для асяроддзя індэкс f у токаў як правіла апускаецца, пішацца проста ${\vec {j}}$ . Таксама часта не робіцца агаворак аб тым, што гэта менавіта «свабодныя» токі. У такой фенаменалагічнай тэорыі ніякіх іншых токаў відавочна не разглядаецца, хоць насамрэч (фізічна) звязаныя токі, вядома, ёсць, проста «схаваныя» ў іншыя велічыні - ${\vec {I}},{\vec {H}}$ т.п. і фармальна выключаны з разгляду.

[4] Паколькі гэта абагульненне грунтуецца на вернасці магнітастатычнага варыянту тэарэмы Ампера пра цыркуляцыю магнітнага поля і захаванні зарада (якое можа быць прынята як пастулат) і можа быць паказана досыць строга адпаведнасць абагульненага ўраўненні гэтых двух пасылкам, а пры накладанні пэўных дадатковых умоў - і адзінасць такога абагульнення, яно ў прынцыпе можа быць таксама сфармулявана ў выглядзе тэарэмы.

[5] У гаусавай сістэме адзінак.

[6] У асноўным тэксце — у СГС. У СІ — так:
$\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]