Трыганаметрыя (ад грэч. τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч. μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

Гісторыя

Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыі

Адзінкавая акружнасць

Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла ${\displaystyle \alpha }$ на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам

Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень ${\displaystyle l}$ з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла ${\displaystyle \alpha }$ ад дадатнага праменя восі ${\displaystyle Ox}$ супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння ${\displaystyle l}$ з адзінкавай акружнасцю будзе ${\displaystyle M}$. Тады па азначэнню:

• функцыя косінус ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ будзе абсцысай ${\displaystyle M}$,
• функцыя сінус ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ будзе ардынатай ${\displaystyle M}$
• функцыя тангенс ${\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}$ будзе дзеллю ардынаты ${\displaystyle M}$ і яе абсцысы: ${\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}}$
• функцыя катангенс ${\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}$ будзе дзеллю абсцысы ${\displaystyle M}$ і яе ардынаты: ${\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}}$
• функцыя секанс ${\displaystyle \sec(\alpha )}$ будзе дзеллю ${\displaystyle {\frac {1}{\sin(\alpha )}}}$
• функцыя касеканс ${\displaystyle \operatorname {cosec} (\alpha )}$ будзе дзеллю ${\displaystyle {\frac {1}{\cos(\alpha )}}}$

Графік функцыі y = sin(x)

Графік функцыі y = cos(x)

Функцыі ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ і ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ вызначаныя на ўсём ${\displaystyle \mathbb {R} }$, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд ${\displaystyle 2\pi }$. Функцыя ${\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}$ не вызначана ў пунктах ${\displaystyle \pi n}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, а функцыя ${\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}$ не вызначана ў пунктах ${\displaystyle \pi n+\pi /2}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, і абедзве маюць вобласць значэнняў ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і перыяд ${\displaystyle \pi }$.

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі

Функцыя, адваротная да

• ${\displaystyle \sin(\alpha )}$ называецца арксінус ${\displaystyle \arcsin(\alpha )}$
• ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ называецца арккосінус ${\displaystyle \arccos(\alpha )}$
• ${\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )}$ называецца арктангенс ${\displaystyle \operatorname {arctg} (\alpha )}$
• ${\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )}$ называецца арккатангенс ${\displaystyle \operatorname {arcctg} (\alpha )}$

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці

Асноўная трыганаметрычная тоеснасць ${\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1}$.

Формула косінуса сумы: ${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}$

Формула косінуса рознасці: ${\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}$

Формула сінуса сумы: ${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )}$

Формула сінуса рознасці: ${\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )\cos(\alpha )}$

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай

y = sin(x) на комплекснай плоскасці

Раскладзём функцыі ${\displaystyle \sin(x)}$ і ${\displaystyle \cos(x)}$ ў рад Тэйлара:

${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}$

${\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\dots }$

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle \sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}$

${\displaystyle \cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}+\dots .}$

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў

Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы. («∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

${\displaystyle \alpha \,\!}$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
${\displaystyle \sin \alpha \,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {-1}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$
${\displaystyle \cos \alpha \,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {-1}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {0}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$
${\displaystyle \sec \alpha \,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}$	${\displaystyle {2}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {-1}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$
${\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha \,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {2}\,\!}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!}$	${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!}$	${\displaystyle {1}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$	${\displaystyle {-1}\,\!}$	${\displaystyle {\infty }\,\!}$

Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

Ужыванне

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

Гл. таксама

• Сферычная трыганаметрыя
• Эліптычная трыганаметрыя
• Гіпербалічная трыганаметрыя

Літаратура

• Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
• Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»
• И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»