Сіметры́чны мнагачле́н — мнагачлен ад n зменных ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$, які не мяняе выгляду пры любых перастаноўках сваіх зменных. Інакш кажучы, калі адвольным чынам перанумараваць зменныя, сіметрычны мнагачлен застанецца тым жа.

Элементарныя сіметрычныя мнагачлены

Элементарныя сіметрычныя мнагачлены — мнагачлены віду

${\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n}x_{j_{1}}\dots x_{j_{k}},}$

вызначаныя для ${\displaystyle k=1,2\ldots n}$, г.зн. такія:

${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\sigma _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\\\sigma _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}+{x_{1}}{x_{3}}+\cdots +{x_{n-1}}{x_{n}}\\&\cdots &\\\sigma _{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-1}}+{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-2}}{x_{n}}+\cdots +{x_{2}}{x_{3}}\ldots {x_{n}}\\\sigma _{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n}}\\\end{array}}}$

Прыклады

• Дыскрымінант — мнагачлен віду

  ${\displaystyle D(p)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2},}$

  дзе ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ — карані нейкага мнагачлена ад аднае зменнай:

  ${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}.}$

• Ступенныя сумы — сумы аднолькавых ступеней зменных, г.зн.

  ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha }}$

Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў

Асноўная тэарэма тэорыі сіметрычных мнагачленаў сцвярджае:

Гл. таксама

• Дыскрымінант
• Сіметрычная група

Літаратура

• Э. Б. Винберг. Курс алгебры.. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — С. 127--134.
• З. Б. Райхштейн Тождества Ньютона и математическая индукция // Математическое просвещение. — 2000. — В. 4. — С. 204–205.