σ-алгебра — алгебра мностваў, замкнутая адносна аперацыі злічальнага аб’яднання. Паняцце σ-алгебры мае важнае значэнне для тэорыі імавернасцей, дзе выступае адным з элементаў імавернаснай прасторы.

Азначэнне

Алгебра ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ падмностваў мноства ${\displaystyle \Omega }$ называецца σ-алгебрай, калі для кожнай злічонай сям’і ${\displaystyle \{A_{n}|n\in \mathbb {N} \},A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ справядлівае адно з судачыненняў^[1]:11:

${\displaystyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ або ${\displaystyle \bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$.

Карыстаючыся законамі дэ Моргана, можна паказаць, што са злічонага аб’яднання вынікае перасячэнне, і наадварот, з перасячэння вынікае аб’яднанне. Таму толькі аднаго з гэтых судачыненняў дастаткова патрабаваць для задання σ-алгебры.

Самая маленькая сярод усіх магчымых σ-алгебраў, што змяшчаюць усе адкрытыя мноствы тапалагічнай прасторы, называецца сігма-алгебрай барэлеўскіх мностваў ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$^[1]:69.

Неэквівалентнасць азначэнню алгебры мностваў

Не ўсе алгебры мностваў адпавядаюць азначэнню σ-алгебры^[1]:11-12. Для доказу дастаткова прывесці прыклад такой алгебры.

Няхай ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ мноства рэчаісных лікаў. Праз ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ пазначым мноства ўсіх тых падмностваў ${\displaystyle \mathbb {R} }$, якія з’яўляюцца канечнымі аб’яднаннямі звязных падмностваў ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (у тым ліку аднапунктавых і ${\displaystyle \varnothing }$). Можна паказаць, што калі ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, то і яго дадатак ${\displaystyle {\overline {A}}\in {\mathcal {A}}}$ (дадатак канечнага аб’яднання звязных мностваў з’яўляецца канечным аб’яданнем звязных мностваў). Відавочна, што калі ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ і ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$, то ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {A}}}$. Такім чынам, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — алгебра мностваў.

Цяпер пакажам, што ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — не σ-алгебра. Мноства рацыянальных лікаў ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ не належыць ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, бо яго немагчыма запісаць у выглядзе канечнага аб’яднання звязаных мностваў. Пры гэтым кожнаму рацыянальнаму ліку ${\displaystyle q}$ адпавядае аднаэлементнае звязнае мноства ${\displaystyle \{q\}\in {\mathcal {A}}}$. Вядома, што ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — злічальнае мноства, то бок яго можна прадставіць як ${\displaystyle \bigcup \limits _{i\in \mathbb {N} }\{q_{i}\}}$, дзе кожнае ${\displaystyle \{q_{i}\}\in {\mathcal {A}}}$, але само аб’яднанне не належыць ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Такім чынам, парушаецца ўласцівасць σ-алгебры быць замкнутай адносна злічальнага аб’яднання, а значыць ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — не σ-алгебра.

Зноскі