Абагульнены прынцып нявызначанасці

Прынцып нявызначанасці не адносіцца толькі да каардынаты і імпульсу (як ён быў упершыню прапанаваны Гейзенбергам). У сваёй агульнай форме ён выкарыстоўваецца і ў дачыненні да кожнай пары спалучаных зменных. У агульным выпадку, і ў адрозненне ад выпадку каардынаты і імпульсу, што абмеркаваны вышэй, ніжняя граніца здабытку «нявызначанасцей» двух спалучаных зменных залежыць ад стану сістэмы. Прынцып нявызначанасці становіцца тады тэарэмай у тэорыі аператараў, якая будзе прыведзена далей.

Тэарэма. Для любых самаспалучаных аператараў : ${\displaystyle A\colon H\to H}$ і ${\displaystyle B\colon H\to H}$, і любога элемента ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle H}$ такога, што ${\displaystyle ABx}$ і ${\displaystyle BAx}$ абодва вызначаны (гэта значыць, у прыватнасці, ${\displaystyle Ax}$ і ${\displaystyle Bx}$ таксама вызначаны), маем:

${\displaystyle \langle x|AB|x\rangle \langle x|BA|x\rangle =\left|\langle Bx|Ax\rangle \right|^{2}\leqslant \left|\langle Ax|Ax\rangle \right|\left|\langle Bx|Bx\rangle \right|=\|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}.}$

Гэта прамое следства няроўнасці Кашы — Бунякоўскага.

Такім чынам, справядліва наступная агульная форма прынцыпу нявызначанасці, упершыню выведзеная ў 1930 г. Говардам Персі Робертсанам і (незалежна) Эрвінам Шродзінгерам:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}|\langle x|AB-BA|x\rangle |^{2}\leqslant \|Ax\|^{2}\|Bx\|^{2}.}$

Гэтую няроўнасць называюць суадносінамі Робертсана — Шродзінгера.

Аператар ${\displaystyle AB-BA}$ называюць камутатарам ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ і абазначаюць як ${\displaystyle [A,B]}$. Ён вызначаны для тых ${\displaystyle x}$, для якіх вызначаны абодва${\displaystyle ABx}$ і ${\displaystyle BAx}$.

З суадносін Робертсана — Шродзінгера адразу вынікаюць суадносіны нявызначанасці Гейзенберга:

Дапусцім, ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ — дзве фізічныя велічыні, якія звязаны з самаспалучанымі аператарамі. Калі ${\displaystyle AB\psi }$ і ${\displaystyle BA\psi }$ вызначаныя, тады:

${\displaystyle \Delta _{\psi }A\,\Delta _{\psi }B\geqslant {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[A,{B}\right]\right\rangle _{\psi }\right|,}$

дзе:

${\displaystyle \left\langle X\right\rangle _{\psi }=\left\langle \psi |X|\psi \right\rangle }$

— сярэдняе значэнне аператара велічыні ${\displaystyle X}$ ў стане ${\displaystyle \psi }$ сістэмы, і

${\displaystyle \Delta _{\psi }X={\sqrt {\langle {X}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {X}\rangle _{\psi }^{2}}}}$

— аператар стандартнага адхілення велічыні ${\displaystyle X}$ ў стане ${\displaystyle \psi }$ сістэмы.

Прыведзеныя вышэй азначэнні сярэдняга і стандартнага адхілення фармальна вызначаны выключна ў тэрмінах тэорыі аператараў. Сцвярджэнне становіцца аднак больш значным, як толькі мы заўважым, што яны з'яўляюцца фактычна сярэднім і стандартным адхіленнем вымеранага размеркавання значэнняў. Гл. квантавая статыстычная механіка.

Тое ж самае можна зрабіць не толькі для пары спалучаных аператараў (напрыклад каардынаты і імпульсу, або працягласці і энергіі), але наогул для любой пары эрмітавых аператараў. Існуе адносіна нявызначанасці паміж напружанасцю поля і лікам часціц, якая прыводзіць да з'явы віртуальных часціц.

Магчыма таксама існаванне двух некамутуючых самаспалучаных аператараў ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$, якія маюць адзін і той жа ўласны вектар ${\displaystyle \psi }$. У гэтым выпадку ${\displaystyle \psi }$ прадстаўляе сабой чысты стан, які з'яўляецца адначасова вымерным і для ${\displaystyle A}$, і для ${\displaystyle B}$.

Прыклады суадносін нявызначанасцей

Папярэднія матэматычныя вынікі паказваюць, як знайсці суадносіны нявызначанасцей паміж фізічнымі зменнымі, а іменна, вызначыць значэнні пар зменных ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$, камутатар якіх мае пэўныя аналітычныя ўласцівасці.

• самая вядомая адносіна нявызначанасці — паміж каардынатай і імпульсам часціцы ў прасторы:

${\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}.}$

• адносіна нявызначанасці паміж двума артаганальнымі кампанентамі аператара поўнага вуглавога моманту часціцы :

${\displaystyle \Delta J_{i}\Delta J_{j}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}\left|\left\langle J_{k}\right\rangle \right|,}$

дзе ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle j,}$ ${\displaystyle k}$ розныя і ${\displaystyle J_{i}}$ пазначае вуглавы момант ўздоўж восі ${\displaystyle x_{i}}$.

• наступная суадносіна нявызначанасці паміж энергіяй і часам часта сустракаецца ў падручніках фізікі, хоць яе інтэрпрэтацыя патрабуе асцярожнасці, бо не існуе аператара, які прадстаўляў бы час:

${\displaystyle \Delta E\Delta t\geqslant {\frac {\hbar }{2}}.}$

• Варта падкрэсліць, што для выканання ўмоў тэарэмы, неабходна, каб абодва самаспалучаныя аператары былі вызначаны на адным і тым жа мностве функцый. Прыкладам пары аператараў, для якіх гэта ўмова парушаецца, можа служыць аператар праекцыі вуглавога моманту ${\displaystyle L_{z}}$ і аператар азімутальнага вугла ${\displaystyle \varphi }$. Першы з іх з'яўляецца самаспалучаным толькі на мностве 2π-перыядычных функцый, у той час як аператар ${\displaystyle \varphi }$, відавочна, выводзіць з гэтага мноства. Для вырашэння ўзніклай праблемы можна замест ${\displaystyle \varphi }$ ўзяць ${\displaystyle \sin \varphi }$, што прывядзе да наступнай формы прынцыпу нявызначанасці^{[** 1]}:

${\displaystyle \langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \sin \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}\langle (\cos \varphi )^{2}\rangle .}$

Аднак, пры ${\displaystyle \langle (\varphi )^{2}\rangle \ll \pi ^{2}}$ умова перыядычнасці неістотна, і прынцып нявызначанасці прымае звыклы выгляд:

${\displaystyle \langle (\Delta L_{z})^{2}\rangle \langle (\Delta \varphi )^{2}\rangle \geqslant {\frac {\hbar ^{2}}{4}}.}$

Выраз канчатковай даступнай колькасці інфармацыі Фішэра

Прынцып нявызначанасці альтэрнатыўна выводзіцца як выраз няроўнасці Крамера — Раа ў класічнай тэорыі вымярэнняў, у выпадку калі вымяраецца становішча часціцы. Сярэдне-квадратычны імпульс часціцы ўваходзіць у няроўнасць як інфармацыя Фішэра.