Вышыня

Вышыня прамавугольнага трохвугольніка.

Калі вышыня праведзена з вяршыні з прамым вуглом да гіпатэнузы, то трохвугольнік дзеліцца на два меншыя трохвугольнікі, падобныя зыходнаму і падобныя адзін аднаму. З гэтага вынікае:

• Вышыня ёсць сярэдняе геаметрычнае (сярэдняе прапарцыянальнае) двух сегментаў гіпатэнузы.

• Кожны катэт трохвугольніка ёсць сярэдняе прапарцыянальнае гіпатэнузы і сумежных сегментаў.

• Справядлівыя суадносіны:

${\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,}$ (часам гэта называюць тэарэмай вышыні прамавугольнага трохвугольніка)

${\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}$

${\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd,}$

дзе a, b, c, d, e, f паказаныя на дыяграме.^[1] Такім чынам:

${\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}$

• Вышыня, апушчаная на гіпатэнузу, звязана з катэтамі прамавугольнага трохвугольніка суадносінамі:^[2][3]

  ${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}$

Іншыя ўласцівасці

Радыус упісанай акружнасці ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі ${\displaystyle m_{a}}$, ${\displaystyle m_{b}}$ і гіпатэнузай ${\displaystyle m_{c}}$ роўны:

${\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}$

Калі адрэзкі даўжынёй ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$, выходныя з вяршыні C, дзеляць гіпатэнузу на тры роўныя адрэзкі даўжыні c/3, то:^{[4]:pp. 216-217}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

Прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца адзіным трохвугольнікам з двума, а не трыма, упісанымі квадратамі, якія адрозніваюцца адзін ад аднаго.^[5]

Хай h і s (h>s) — бакі двух квадратаў, упісаных у прамавугольны трохвугольнік з гіпатэнузай c. Тады:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.}$

Перыметр прамавугольнага трохвугольніка роўны суме радыусаў упісанай і трох апісаных акружнасцей.