Дзве плоскасці, якія перасякаюцца

Пло́скасць — адно з асноўных паняццяў геаметрыі. Плоскасць — гэта бясконцая паверхня, да якой належаць усе прамыя, што праходзяць праз якія-небудзь два пункты плоскасці. У алгебры плоскасць вызначаецца як двухмерная афінная прастора.

У планіметрыі плоскасць разглядаецца як універсум, да якога належаць усе геаметрычныя фігуры. Стэрэаметрыя разглядае бесканечнае мноства плоскасцей, размешчаных у прасторы.

Ураўненні плоскасці

Плоскасць — алгебраічная паверхня першага парадку: у дэкартавай сістэме каардынат плоскасць можна задаць ураўненнем першай ступені.

• Агульнае ураўненне (поўнае) плоскасці

${\displaystyle Ax+By+Cz+D=0,\qquad (1)}$

дзе ${\displaystyle A,B,C}$ і ${\displaystyle D}$ — канстанты, прычым хоць адзін з лікаў A, B і C не роўны нулю (што раўназначна няроўнасці ${\displaystyle |A|+|B|+|C|\neq 0}$); у вектарнай форме:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0,}$

дзе ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радыус-вектар пункта ${\displaystyle M(x,y,z)}$, вектар ${\displaystyle \mathbf {N} =(A,B,C)}$ перпендыкулярны да плоскасці (нармальны вектар). Накіравальныя косінусы вектары ${\displaystyle \mathbf {N} }$:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},}$

${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.}$

Калі адзін з каэфіцыентаў ва ўраўненні плоскасці — нуль, ураўненне называецца няпоўным. Пры ${\displaystyle D=0}$ плоскасць праходзіць праз пачатак каардынат, пры ${\displaystyle A=0}$ (або ${\displaystyle B=0}$, ${\displaystyle C=0}$) плоскасць паралельная восі ${\displaystyle Ox}$ (адпаведна ${\displaystyle Oy}$ або ${\displaystyle Oz}$). Пры ${\displaystyle A=B=0}$ (${\displaystyle A=C=0}$, або ${\displaystyle B=C=0}$) плоскасць паралельная плоскасці ${\displaystyle Oxy}$ (адпаведна ${\displaystyle Oxz}$ або ${\displaystyle Oyz}$).

• Ураўненне плоскасці ў адрэзках:

${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,}$

дзе ${\displaystyle a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C}$ — адрэзкі, якія плоскасць адсякае на восях ${\displaystyle Ox,Oy}$ і ${\displaystyle Oz}$.

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз пункт ${\displaystyle M(x_{0},y_{0},z_{0})}$ перпендыкулярна вектару нармалі ${\displaystyle \mathbf {N} (A,B,C)}$:

${\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}$

у вектарнай форме:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.}$

• Ураўненне плоскасці, якая праходзіць праз тры зададзеныя пункты ${\displaystyle M(x_{i},y_{i},z_{i})}$, якія не ляжаць на адной прамой:

${\displaystyle ((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0,}$

дзе ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )}$ абазначае змешаны здабытак вектараў x, y і z, па-іншаму

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.}$

• Нармальнае (нармаванае) ураўненне плоскасці

${\displaystyle x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0,\qquad (2)}$

у вектарнай форме:

${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,}$

дзе ${\displaystyle \mathbf {N^{0}} }$ — адзінкавы вектар, ${\displaystyle p}$ — адлегласць плоскасці ад пачатку каардынат. Ураўненне (2) можна атрымаць з ураўнення (1) дамнажэннем на нармавальны множнік

${\displaystyle \mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}}$

(знакі ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle D}$ супрацьлеглыя).

Спасылкі

• На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Плоскасць
• Плоскость (руск.) — артыкул з Вялікай савецкай энцыклапедыі