Група, алгебра

Тэорыя груп Асноўныя паняцці Падгрупа Нармальная падгрупа Фактаргрупа (паў-)Прамы здабытак Тапалагічныя групы Група Лі Артаганальная група O(n) Спецыяльная ўнітарная група SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Група Лорэнца Група Пуанкарэ

Паўпрамы здабытак — канструкцыя ў тэорыі груп, якая дазваляе будаваць новую групу па дзвюх групах ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$, і дзеянні ${\displaystyle \phi }$ групы ${\displaystyle H}$ на групе ${\displaystyle N}$ аўтамарфізмамі.

Паўпрамы здабытак груп ${\displaystyle N}$ і ${\displaystyle H}$ над ${\displaystyle \phi }$ звычайна абазначаецца ${\displaystyle N\rtimes _{\phi }H}$.

Канструкцыя

Няхай зададзена дзеянне групы ${\displaystyle H}$ на прасторы групы ${\displaystyle N}$ з захаваннем яе групавой структуры. Гэта азначае, што зададзены гомамарфізм ${\displaystyle \phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)}$ групы ${\displaystyle H}$ у групу аўтамарфізмаў групы ${\displaystyle N}$. Аўтаморфізм групы ${\displaystyle N}$., які адпавядае элементу ${\displaystyle h}$ з ${\displaystyle H}$ пры гомамарфізме ${\displaystyle \phi }$. пазначым ${\displaystyle \phi _{h}}$. У якасці групы ${\displaystyle G}$ — паўпрамога здабытку груп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$ над гомамарфізмам ${\displaystyle \phi }$ — бярэцца мноства ${\displaystyle N\times H}$ з бінарнай аперацыяй ${\displaystyle *}$, што дзейнічае па правілу:

${\displaystyle (n_{1},h_{1})*(n_{2},h_{2})=(n_{1}\phi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})}$ для любых ${\displaystyle n_{1},n_{2}\in N}$, ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$.

Уласцівасці

1. Групы ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$ натуральна ўкладзеныя ў ${\displaystyle G}$, прычым ${\displaystyle N}$ — нармальная падгрупа ў ${\displaystyle G}$.
2. Кожны элемент ${\displaystyle g\in G}$ адназначна раскладаем у здабытак ${\displaystyle g=nh}$, дзе ${\displaystyle h}$ і ${\displaystyle n}$ — элементы груп ${\displaystyle H}$ і ${\displaystyle N}$ адпаведна. (Гэта ўласцівасць апраўдвае назву групы ${\displaystyle G}$ як паўпрамога здабытку груп ${\displaystyle H}$ м ${\displaystyle N}$.)
3. Зададзенае дзеянне ${\displaystyle \phi }$ групы ${\displaystyle H}$ на групе ${\displaystyle N}$ супадае з дзеяннем ${\displaystyle H}$ на ${\displaystyle N}$ спалучэннямі (у групе ${\displaystyle G}$).

Усякая група са ўласцівасцямі 1-3 ізаморфная групе ${\displaystyle G}$ (уласцівасць універсальнасці паўпрамога здабытку груп).

Літаратура

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3 000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.