Фармулёўкі

Няхай выпадковая велічыня ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ вызначана на імавернаснай прасторы ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, а яе матэматычнае чаканне ${\displaystyle \mu }$ і дысперсія ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ канечныя. Тады

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}},}$

дзе ${\displaystyle a>0.}$

Калі ${\displaystyle a=k\sigma }$, дзе ${\displaystyle \sigma }$ — стандартнае адхіленне і ${\displaystyle k>0,}$ тады атрымаем

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}.}$

У прыватнасці, выпадковая велічыня з канечнай дысперсіяй адхіляецца ад сярэдняга больш, чым на ${\displaystyle 2}$ стандартныя адхіленні, з імавернасцю менш ${\displaystyle 25\%.}$ Яна ж адхіляецца ад сярэдняга на ${\displaystyle 3}$ стандартныя адхіленні з імавернасцю менш ${\displaystyle 11{,}2\,\%.}$ Іншымі словамі, у граніцах ${\displaystyle 2\sigma }$ (2-х стандартных адхіленняў) знаходзяцца па меншай меры ${\displaystyle {100}{-}{25}{=}{75\,\%}}$ значэнняў, а ў граніцах ${\displaystyle 3\sigma }$ знаходзяцца па меншай меры ${\displaystyle {100}{-}{11{,}2}{=}{88{,}8\,\%}}$ значэнняў.

Для найважнейшага выпадку аднамадальных размеркаванняў Няроўнасць Высачанскага — Пятуніна істотна ўзмацняе няроўнасць Чaбышова, уключаючы ў сябе дзель ${\displaystyle 4/9}$ і набліжае няроўнасць Чaбышова да правіла трох сігм (ужываецца для нармальнага размеркавання). Як вынік, размеркаванне змяняецца, і ў граніцах ${\displaystyle 3\sigma }$ знаходзяцца «амаль усе» (а дакладней, ${\displaystyle 95{,}06\,\%}$) значэнні выпадковай велічыні.