Фанон як квазічасціца

Апісанне стану цвёрдых цел, непасрэдна вырашаючы ураўненне Шродзінгера для ўсіх часціц, практычна немагчыма з-за вялікага ліку зменных і складанасці ўліку ўзаемадзеяння паміж часціцамі. Спрасціць такое апісанне ўдаецца увядзеннем квазічасціц - элементарных узбуджанняў адносна нейкага асноўнага стану. Часта ўлік толькі ніжэйшых энергетычных узбуджанняў адносна гэтага стану дастатковы для апісання сістэмы, так як, згодна з размеркаваннем Больцмана, станы з вялікімі значэннямі энергій даюцца з меншай верагоднасцю. Разгледзім прыклад прымянення квазічасціц для апісання ваганняў атамаў ў вузлах крышталічнай рашоткі.

Прыкладам пажаднасці з нізкімі энергіямі можа служыць крышталічная рашотка пры абсалютным нулі тэмпературы, калі да асноўнага стану, пры якім ваганні ў рашотцы адсутнічаюць, дадаецца элементарнае абурэнне пэўнай частаты, фанон. Бывае, што стан сістэмы характарызуецца некалькімі элементарнымі ўзбуджэннямі, а гэтыя ўзбуджэнні, у сваю чаргу, могуць існаваць незалежна адзін ад аднаго, у такім выпадку гэты стан інтэрпрэтуецца сістэмай неузаемадзеуючых фанонаў. Аднак не заўсёды выходзіць апісаць стан неузаемадзеуючымі квазічасціцамі з-за ангарманічнага вагання ў крышталі. Тым не менш, у многіх выпадках элементарныя ўзбуджэнні могуць разглядацца як незалежныя. Такім чынам, можна набліжана лічыць, што энергія крышталя, звязаная з ваганнем атамаў ў вузлах рашоткі, роўная суме энергіі некаторага асноўнага стану і энергій усіх фанонаў.

Квантаванне ваганняў на прыкладзе фанонаў

Разгледзім скалярную мадэль крышталічнай рашоткі, згодна з якой атамы вагаюцца ўздоўж аднаго кірунку. Карыстаючыся базісам плоскіх хваляў, напішам выраз для зрушэнняў атамаў ў вузле:

${\displaystyle u_{n}(t)=\sum _{\vec {k}}Q_{\vec {k}}(t)\phi _{\vec {k}}({\vec {r}}_{n})}$

${\displaystyle \phi _{\vec {k}}({\vec {r}}_{n})={\frac {1}{\sqrt {N}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}_{n}}}$

У такой форме ${\displaystyle Q_{\vec {k}}}$ называюць абагульненымі каардынатамі. Тады лагранжыян сістэмы:

${\displaystyle L=\sum _{n}{\frac {m{\dot {u}}_{n}^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n,n^{'}}A({\vec {r}}_{n}-{\vec {r}}_{n^{'}})u_{n}u_{n^{'}}}$

выкажацца ў тэрмінах ${\displaystyle Q_{\vec {k}}}$ у выглядзе:

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum {\vec {k}}({\dot {Q}}_{\vec {k}}^{*}{\dot {Q}}_{\vec {k}}-\omega _{\vec {k}}^{2}Q_{\vec {k}}^{*}Q_{\vec {k}})}$

Адсюль выяўляецца кананічны імпульс і гамільтаныян:

${\displaystyle P_{\vec {k}}={\frac {\delta L}{\delta {\dot {Q}}_{\vec {k}}}}=m{\dot {Q}}_{\vec {k}}^{*}}$

${\displaystyle H=\sum _{\vec {\vec {k}}}P_{\vec {k}}{\dot {Q}}_{\vec {k}}-L={\frac {1}{2m}}\sum _{\vec {k}}(P_{\vec {k}}P_{\vec {k}}^{*}+m^{2}\omega _{\vec {k}}^{2}Q_{\vec {k}}^{*}Q_{\vec {k}})}$

Квантаванне дзеяння вырабляецца патрабаваннем аператарных правілаў камутацыі для абагульненай каардынаты і імпульсу (${\displaystyle \hbar =1}$):

${\displaystyle [Q_{\vec {k}},P_{{\vec {k}}^{'}}]=i\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}^{'}}}$

${\displaystyle [Q_{\vec {k}},Q_{{\vec {k}}^{'}}]=[P_{\vec {k}},P_{{\vec {k}}^{'}}]=0}$

Для пераходу да фанонаў прадстаўленні выкарыстоўваюць мову другаснага квантавання, вызначыўшы аператары нараджэння ${\displaystyle a_{\vec {k}}^{+}}$ і знішчэння ${\displaystyle a_{\vec {k}}}$ квантавага фаноннага поля:

${\displaystyle [a_{\vec {k}},a_{{\vec {k}}^{'}}^{+}]=i\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}^{'}}\,\,\,\,\,\,\,[a_{\vec {k}},a_{{\vec {k}}^{'}}]=0}$

Прамым вылічэннем можна праверыць, што патрабаваныя правілы камутацыі выконваюцца для аператараў:

${\displaystyle Q_{\vec {k}}={\frac {1}{\sqrt {2m\omega _{\vec {k}}}}}(a_{\vec {k}}^{+}e^{i\omega t}+a_{-{\vec {k}}}e^{-i\omega _{\vec {k}}t})}$

${\displaystyle P_{\vec {k}}=i{\sqrt {\frac {\omega _{\vec {k}}m}{2}}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}e^{i\omega t}-a_{\vec {k}}e^{-i\omega _{\vec {k}}t})}$

Замяніўшы знак комплекснага спалучэння ${\displaystyle Q_{\vec {k}}^{*}}$ на ${\displaystyle Q_{\vec {k}}^{+}}$ і улічачы, што энергія - цотная функцыя квазіімпульсу, ${\displaystyle \omega _{\vec {k}}=\omega _{-{\vec {k}}}}$ (з аднастайнасці), атрымаем выразы для кінетычнай і патэнцыяльнай частак гамільтаныяна:

${\displaystyle K={\frac {1}{2m}}\sum _{\vec {k}}P_{\vec {k}}P_{-{\vec {k}}}=-{\frac {1}{4}}\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}-a_{\vec {k}})(a_{\vec {k}}^{+}-a_{-{\vec {k}}})}$

${\displaystyle H={\frac {m\omega _{\vec {k}}^{2}}{2}}\sum _{\vec {k}}Q_{\vec {k}}Q_{-{\vec {k}}}={\frac {1}{4}}\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}-a_{\vec {k}})(a_{\vec {k}}^{+}-a_{-{\vec {k}}})}$

Тады гамільтаныян прыме выгляд:

${\displaystyle H=\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{\vec {k}}^{+}a_{\vec {k}}+{\frac {1}{2}})}$

Інакш можна перапісаць:

${\displaystyle H=\sum _{\vec {k}}E_{\vec {k}}(n_{\vec {k}}+{\frac {1}{2}})}$

Дзе

${\displaystyle n_{\vec {k}}=a_{\vec {k}}^{+}a_{\vec {k}}}$ — аператар колькасці часціц, фанонаў,

${\displaystyle E_{\vec {k}}=\omega _{\vec {k}}}$ — энергія фанонаў з імпульсам ${\displaystyle {\vec {k}}}$

Такое апісанне ваганняў ў крышталі называецца гарманічным набліжэннем. Яно адпавядае толькі разгляду квадратычных членаў па зрушэнням ў гамільтаныяне.

Квазічасціцы ў феромагнетыку, магноны

У выпадку ферамагнетыка, пры абсалютным нулі тэмпературы, усё спіны выстройваюцца ўздоўж аднаго кірунку. Такое размяшчэнне спінаў адпавядае асноўнаму стану. Калі адзін з спінаў адхіліць ад зададзенага кірунку і прадставіць сістэму самой сабе, пачне распаўсюджвацца хваля. Энергія гэтай хвалі будзе роўная энергіі ўзбуджэння крышталя, звязанай з змяненнем арыентацыі спіна атама. Гэтую энергію можна разглядаць як энергію некаторай часціцы, якую і называюць магнонам.

Калі энергія ферамагнетыка, звязаная з адхіленнем спінаў, невялікая, то яе можна прадставіць у выглядзе сумы энергій асобных спінавай хвалі або, кажучы інакш, у выглядзе сумы энергій магнонаў.

Магноны, як і фаноны, падпарадкоўваюцца статыстыцы Бозэ - Эйнштэйна.

Падабенства

• Як і звычайная часціца, квазічасціца можа быць больш-менш лакалізаванай ў прасторы і захоўваць сваю лакалізаванасць ў працэсе руху.
• Квазічасціцы могуць сутыкацца і/або ўзаемадзейнічаць іншым чынам. Пры сутыкненні нізкаэнергетычных квазічасціц выконваюцца механічныя законы захавання квазіімпульсу і энергіі. Квазічасціцы могуць таксама ўзаемадзейнічаць і з звычайнымі часціцамі (напрыклад, з фатонамі).
• Для квазічастиц з квадратычным законам дысперсіі (гэта значыць энергія прапарцыйная квадрату імпульсу) можна ўвесці паняцце эфектыўнай масы. Паводзіны такой квазічасціцы будзе вельмі падобныя на паводзіны звычайных часціц.

Адрозненні

• У адрозненне ад звычайных часціц, якія існуюць самі па сабе, у тым ліку і ў пустым прасторы, квазічасціцы не могуць існаваць па-за асяроддзя, ваганнямі якой яны і з'яўляюцца.
• Пры сутыкненнях, для многіх квазічасціц закон захавання квазіімпульса выконваецца з дакладнасцю да вектара зваротнай рашоткі.
• Закон дысперсіі звычайных часціц - гэта дадзенасць, якую ніяк не змяніць. Закон дысперсіі квазічасціц ўзнікае дынамічна, і таму можа мець самы мудрагелісты выгляд.
• Квазічасціцы могуць мець дробны электрычны зарад або магнітны зарад.