Зваро́тнае ўраўне́нне — алгебраічнае ўраўненне віду:

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}=0,}$

дзе каэфіцыенты, якія стаяць на сіметрычных адносна сярэдзіны месцах, роўныя, г.зн.

${\displaystyle a_{n-k}=a_{k}}$  пры k = 0, 1, …, n.

Ураўненне чацвёртай ступені

Разгледзім зваротнае ўраўненне чацвёртай ступені віду

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0,}$

дзе a, b і c — некаторыя лікі, прычым a ≠ 0.

Алгарытм рашэння такіх ураўненняў:

• падзяліць левую і правую часткі ўраўнення на ${\displaystyle x^{2}}$. Пры гэтым рашэнні не губляюцца, бо x = 0 не з'яўляецца коранем зыходнага ўраўнення пры a ≠ 0;
• групоўкай прывесці атрыманае ўраўненне да выгляду

  ${\displaystyle a\left(x^{2}+{1 \over x^{2}}\right)+b\left(x+{1 \over x}\right)+c=0;}$

• увесці новую пераменную

  ${\displaystyle t={x+{1 \over x}},}$

  тады выконваецца

  ${\displaystyle t^{2}={x^{2}+2+{1 \over {x^{2}}}},}$  г.зн.  ${\displaystyle {x^{2}+{1 \over {x^{2}}}}={t^{2}-2};}$

• у новых пераменных ураўненне будзе квадратным:

  ${\displaystyle at^{2}+bt+c-2a=0;}$

• рашыць яго адносна t, вярнуцца да зыходнай пераменнай.

Ураўненні пятай і вышэйшых ступеней

Для зваротных ураўненняў вышэйшых ступеней справядлівыя наступныя сцвярджэнні:

• Зваротнае ўраўненне цотнай ступені зводзіцца да ўраўнення ўдвая меншай ступені падстаноўкай

  ${\displaystyle x+{\frac {1}{x}}=t.}$

• Зваротнае ўраўненне няцотнай ступені абавязкова мае корань x = −1 і пасля дзялення мнагачлена ў левай частцы гэтага ўраўнення на двухчлен x + 1, прыводзіцца да зваротнага ўраўнення цотнай ступені.

Гл. таксама

• Біквадратнае ўраўненне
• Паліндром

Спасылкі

• The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials (англ.) на MathPages