Дыферэнцыял (лац.: Differentia - рознасць, адрозненне) - лінейная частка прырашчэння функцыі.

Гісторыя

Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам. Першапачаткова ${\displaystyle dx}$ ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» - велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

Абазначэнні

Звычайна дыферэнцыял функцыі ${\displaystyle f}$ пазначаецца ${\displaystyle df}$. Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню ${\displaystyle {\rm {d}}f}$ шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з'яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы ${\displaystyle x_{0}}$ пазначаецца ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$, а часам ${\displaystyle df[x_{0}]}$, а таксама ${\displaystyle df}$, калі значэнне ${\displaystyle x_{0}}$ ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы ${\displaystyle x_{0}}$ ад ${\displaystyle h}$ можа пазначацца як ${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)}$, а часам ${\displaystyle df[x_{0}](h)}$, а таксама ${\displaystyle df(h)}$, калі значэнне ${\displaystyle x_{0}}$ ясна з кантэксту.

Выкарыстанне знака дыферэнцыяла

• Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла ${\displaystyle \int f(x)\,dx}$. Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял ${\displaystyle dx}$ уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
• Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай ${\displaystyle f'(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})}$. Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі ${\displaystyle f}$ і аналагічнай функцыі ${\displaystyle x}$ верныя суадносіны
•  :${\displaystyle d_{x_{0}}f=f'(x_{0}){\cdot }d_{x_{0}}x.}$

Вызначэнне

Звязаныя вызначэння

• Адлюстраванне ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ называецца дыферэнцуемым у кропцы ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$ калі вызначаны дыферэнцыял${\displaystyle d_{x_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$.

Уласцівасці

• Матрыца лінейнага аператара ${\displaystyle d_{x_{0}}f}$ роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з'яўляюцца частковыя вытворныя.

*Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.

• Дыферэнцыял функцыі ${\displaystyle f}$ звязаны з яе градыентам ${\displaystyle \nabla f}$ наступнымі вызначальнымі суадносінамі

${\displaystyle d_{x_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x_{0}),h\rangle }$

• Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з'яўляюцца узаемазваротнымі.

Варыяцыі і абагульненні

• Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
• Знешні дыферэнцыял
• Дыферэнцыял (дыферэнцыяльная геаметрыя)
• Вытворная Пеано
• Вытворная Фрэшэ

Літаратура

• Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»