Гіпотэза Рымана

Задачы тысячагоддзя
	Роўнасць класаў P і NP
	Гіпотэза Ходжа
	Гіпотэза Пуанкарэ
	Гіпотэза Рымана
	Квантавая тэорыя ; Янга — Мілса
	Існаванне і гладкасць ; рашэнняў ураўненняў; Наўе — Стокса
	Гіпотэза ; Бёрча — Свінертан-Даера

Гіпо́тэза Ры́мана - здагадка аб размеркаванні нулёў дзэта-функцыі Рымана. Яна сцвярджае, што ўсе нетрывіяльныя нулі Рыманавай дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку 12. Гіпотэза была сфармулявана Бернхардам Рыманам у 1859 годзе.

Пакуль невядома якой-небудзь заканамернасці, якая апісвала б размеркаванне простых лікаў сярод натуральных. Рыман выявіў, што колькасць простых лікаў, не большых за x, — функцыя размеркавання простых лікаў, якая абазначаецца праз π(x), — выражаецца праз размеркаванне так званых «нетрывіяльных нулёў» дзэта-функцыі.

Многія сцвярджэнні аб размеркаванні простых лікаў, у тым ліку аб вылічальнай складанасці некаторых цэлалікавых алгарытмаў, даказаныя пры дапушчэнні справядлівасці гіпотэзы Рымана.

Гіпотэза Рымана ўваходзіць у спіс сямі «праблем тысячагоддзя», за рашэнне кожнай з якіх Матэматычны інстытут Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембрыдж, Масачусетс) выплаціць узнагароду ў адзін мільён долараў ЗША. У выпадку апублікавання контрпрыкладу да гіпотэзы Рымана, вучоны савет інстытута Клэя мае права вырашыць, ці можна лічыць гэты контрпрыклад канчатковым рашэннем праблемы, ці праблему можна перафармуляваць у вузейшай форме і пакінуць адкрытай (у апошнім выпадку аўтару контрпрыкладу можа быць выплачана невялікая частка ўзнагароды)^[1]^[2].

Фармулёўка

Рэчаісная (чырвоная) і ўяўная (сіняя) часткі дзэта-функцыі

Дзэта-функцыя Рымана $\zeta (s)$ вызначана для ўсіх камплексных $s\neq 1$ і мае нулі ў адмоўных цотных $s=-2,-4,-6\dots$ .

З функцыянальнага ўраўнення

\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s}\sin {\pi s \over 2}{\frac {1}{\sin \pi s\Gamma (s)}}\zeta (1-s)

і яўнага выразу

{\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}

пры

\operatorname {Re} s>1,

дзе $\mu (n)$ — функцыя Мёбіуса, вынікае, што ўсе астатнія нулі, якія называюцца «нетрывіяльнымі», размяшчаюцца ў паласе $0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1$ сіметрычна адносна так званай «крытычнай лініі» ${1 \over 2}+it,\;t\in \mathbb {R}$ .

Гіпотэза Рымана

Гіпотэза Рымана сцвярджае, што:

Усе нетрывіяльныя нулі дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку, роўную 12.

Абагульненая гіпотэза Рымана

Абагульненая гіпотэза Рымана складаецца з таго ж самага сцвярджэння для абагульненняў дзэта-функцыі, якія называюцца L-функцыямі Дзірыхле.

Раўназначныя фармулёўкі

У 1901 годзе Хельге фон Кох паказаў, што гіпотэза Рымана раўназначная наступнаму сцвярджэнню аб размеркаванні простых лікаў:

\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)

при

x\rightarrow \infty .

Ёсць яшчэ некалькі раўназначных фармулёвак:

Для ўсіх $x\geqslant 2657$ выконваецца няроўнасць
$\left|\pi (x)-\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}\right|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln x,$

Для ўсіх $x\geqslant 73.2$ справядліва няроўнасць
$|\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}(x),$

Для ўсіх $n>5040$ верная няроўнасць
$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n,$

дзе σ(n) — функцыя дзельнікаў ліку n, а γ — пастаянная Эйлера — Маскероні^[3].

Для ўсіх $n>1$ спраўджваецца няроўнасць
$\sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\ln H_{n},$

дзе H_n — n-ы гарманічны лік^[4].

Для любога дадатнага $\varepsilon$ выконваецца няроўнасць
$M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon }),$

дзе M(n) — функцыя Мертэнса, гл. таксама абазначэнне O вялікае. Мацнейшая гіпотэза

|M(n)|<{\sqrt {n}}\,

была абвергнута ў 1985 годзе^[5].

Гіпотэза Рымана раўназначная наступнай роўнасці:
$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {(1-12t^{2})}{(1+4t^{2})^{3}}}\int \limits _{1/2}^{\infty }\log |\zeta (\sigma +it)|\,d\sigma \,dt={\frac {\pi (3-\gamma )}{32}}$ .

Калі гіпотэза Рымана несправядлівая, то існуе алгарытм, які рана ці позна выявіць яе парушэнне. Адсюль вынікае, што калі адмаўленне гіпотэзы Рымана недаказальнае ў арыфметыцы Пеана, то гіпотэза Рымана верная.

Гіпотэза Рымана таксама раўназначная сцвярджэнню, што наступнае дыяфантава ўраўненне не мае рашэнняў у неадмоўных цэлых ліках:

{\begin{aligned}&(elg^{2}+\alpha -(b-xy)q^{2})^{2}+(q-b^{5^{60}})^{2}+(\lambda +q^{4}-1-\lambda b^{5})^{2}+\\&(\theta +2z-b^{5})^{2}+(u+t\theta -l)^{2}+(y+m\theta -e)^{2}+(n-q^{16})^{2}+\\&((g+eq^{3}+lq^{5}+(2(e-z\lambda )(1+xb^{5}+g)^{4}+\lambda b^{5}+\lambda b^{5}q^{4})q^{4})(n^{2}-n)+\\&(q^{3}-bl+l+\theta \lambda q^{3}+(b^{5}-2)q^{5})(n^{2}-1)-r)^{2}+\\&(p-2ws^{2}r^{2}n^{2})^{2}+(p^{2}k^{2}-k^{2}+1-\tau ^{2})^{2}+\\&(4(c-ksn^{2})^{2}+\eta -k^{2})^{2}+(r+1+hp-h-k)^{2}+\\&(a-(wn^{2}+1)rsn^{2})^{2}+(2r+1+\phi -c)^{2}+\\&(bw+ca-2c+4\alpha \gamma -5\gamma -d)^{2}+\\&((a^{2}-1)c^{2}+1-d^{2})^{2}+((a^{2}-1)i^{2}c^{4}+1-f^{2})^{2}+\\&(((a+f^{2}(d^{2}-a))^{2}-1)(2r+1+jc)^{2}+1-(d+of)^{2})^{2}+\\&(((z+u+y)^{2}+u)^{2}+y-K)^{2}=0\end{aligned}}

дзе K — некаторы вялікі фіксаваны цэлалікавы каэфіцыент (які, у прынцыпе, можна запісаць у яўным выглядзе), а астатнія літары абазначаюць зменныя. Ступень гэтага ўраўнення можна панізіць да чатырох цаною павелічэння колькасці зменных^[6]^[7]^[8]^[9]^[10].

Гісторыя

У 1896 годзе Адамар і Вале-Пусен незалежна даказалі, што нулі дзэта-функцыі не могуць ляжаць на прамых $\operatorname {Re} \,s=0$ і $\operatorname {Re} \,s=1$ .

У 1900 годзе Давід Гільберт уключыў гіпотэзу Рымана ў спіс 23 нерэшаных праблем як частку восьмай праблемы, сумесна з гіпотэзаю Гольдбаха.

У 1914 годзе Хардзі даказаў, што на крытычнай лініі знаходзіцца бесканечна многа нулёў, а пазней сумесна з Літлвудам даў ніжнюю ацэнку долі тых нулёў, што ляжаць на крытычнай лініі. Гэтую ацэнку потым паляпшалі розныя матэматыкі. Таксама ў 1914 годзе Я. П. Громер знайшоў неабходныя і дастатковыя ўмовы справядлівасці гіпотэзы Рымана ў аналітычнай тэорыі лікаў (няроўнасці Громера)^[11].

Некаторыя нетрывіяльныя нулі размяшчаюцца экстрэмальна блізка адзін да аднаго. Гэтая ўласцівасць вядома як «з'ява Лемера»^[12].

Цітчмарш і Ворас у 1987 годзе паказалі, што дзэта-функцыя можа быць раскладзена ў здабытак праз свае нетрывіяльныя нулі ў раскладанне Адамара.

На 2004 год праверана больш чым 10^{13 першых нулёў^[13].}

Група матэматыкаў Універсітэта Пердзью (ЗША) пад кіраўніцтвам Луі дэ Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) прапанавала доказ гіпотэзы Рымана^[14], які, аднак, аказаўся няправільным^[1].

Меркаванні аб справядлівасці гіпотэзы

У аглядных працах (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) адзначаецца, што даныя на карысць справядлівасці гіпотэзы Рымана моцныя, але пакідаюць месца для абгрунтаваных сумненняў. Асобныя аўтары, аднак, упэўненыя ў няправільнасці гіпотэзы (напрыклад, так лічыў Джон Літлвуд).

Сярод вынікаў, якія дазваляюць дапускаць праўдзівасць гіпотэзы, можна выдзяліць паспяховы доказ падобных гіпотэз (у тым ліку, гіпотэзы Рымана аб мнагастайнасцях над канечнымі палямі^[15]). Гэта найбольш моцны тэарэтычны довад, які дазваляе меркаваць, што ўмова Рымана выконваецца для ўсіх дзэта-функцый, звязаных з аўтаморфнымі адлюстраваннямі, што ўключае класічную гіпотэзу Рымана. Ісціннасць аналагічнай гіпотэзы ўжо даказана^[16] для дзэта-функцыі Сельберга, у нечым падобнай на функцыю Рымана, і для дзэта-функцыі Госа (аналаг дзэта-функцыі Рымана для функцыянальных палёў).

З другога боку, некаторыя з дзэта-функцый Эпштэйна не задавальняюць умову Рымана, хоць і маюць бесканечны лік нулёў на крытычнай лініі. Аднак гэтыя функцыі не выражаюцца праз рады Эйлера і не звязаныя напрамую з аўтаморфнымі адлюстраваннямі.

Да «практычных» довадаў на карысць справядлівасці Рыманавай гіпотэзы адносіцца вылічальная праверка вялікай колькасці нетрывіяльных нулёў дзэта-функцыі ў рамках праекта ZetaGrid.

Звязаныя праблемы

Дзве гіпотэзы Хардзі — Літлвуда

У 1914 годзе Годфры Харальд Хардзі даказаў^[17], што функцыя $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ мае бесканечна многа рэчаісных нулёў.

Няхай $N(T)$ ёсць колькасць рэчаісных нулёў, а $N_{0}(T)$ колькасць нулёў няцотнага парадку функцыі $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ , якія ляжаць на прамежку $(0,T]$ .

Дзве гіпотэзы Хардзі і Літлвуда^[18] (аб адлегласці паміж рэчаіснымі нулямі $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ і аб шчыльнасці нулёў $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ на прамежках $(T,T+H]$ пры досыць вялікім $T>0$ , $H=T^{a+\varepsilon }$ і як можна меншым значэнні $a>0$ , дзе $\varepsilon >0$ адвольна малы лік), вызначылі два напрамкі ў даследаванні дзэта-функцыі Рымана:

Для любога $\varepsilon >0$ існуе $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ , такое што пры $T\geqslant T_{0}$ і $H=T^{0{,}25+\varepsilon }$ прамежак $(T,T+H]$ утрымлівае нуль няцотнага парадку функцыі $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ .
Для любога $\varepsilon >0$ існуюць такія $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ і $c=c(\varepsilon )>0$ , што пры $T\geqslant T_{0}$ і $H=T^{0{,}5+\varepsilon }$ справядліва няроўнасць $N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geqslant cH$ .

Гіпотэза А. Сельберга

У 1942 годзе Атле Сельберг даследаваў праблему Хардзі — Літлвуда 2 і даказаў, што для любога $\varepsilon >0$ існуюць $T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0$ і $c=c(\varepsilon )>0$ , такія што для $T\geqslant T_{0}$ і $H=T^{0{,}5+\varepsilon }$ справядліва няроўнасць $N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T$ .

У сваю чаргу, Атле Сельберг выказаў гіпотэзу^[19], што можна паменшыць паказчык ступені $a=0{,}5$ для велічыні $H=T^{0{,}5+\varepsilon }$ .

У 1984 годзе А. А. Карацуба даказаў^[20]^[21]^[22], што пры фіксаваным $\varepsilon$ з умоваю $0<\varepsilon <0{,}001$ , даволі вялікім $T$ і $H=T^{a+\varepsilon }$ , $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ прамежак $(T,T+H)$ утрымлівае не менш за $cH\ln T$ рэчаісных нулёў дзэта-функцыі Рымана $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}$ . Тым самым ён пацвердзіў гіпотэзу Сельберга.

Ацэнкі А. Сельберга і А. А. Карацубы з’яўляюцца непаляпшальнымі па парадку росту пры $T\to +\infty$ .

У 1992 годзе А. А. Карацуба даказаў^[23], што аналаг гіпотэзы Сельберга справядлівы для «амаль усіх» прамежкаў $(T,T+H]$ , $H=T^{\varepsilon }$ , дзе $\varepsilon$ — адвольна малы фіксаваны дадатны лік. Метад, распрацаваны Карацубам, дазваляе даследаваць нулі дзэта-функцыі Рымана на «звышкароткіх» прамежках крытычнай прамой, г.зн. на прамежках $(T,T+H]$ , даўжыня $H$ якіх расце павольней за любую, нават адвольна малую, ступень $T$ . Сярод іншага, ён даказаў, што для любых зададзеных лікаў $\varepsilon$ , $\varepsilon _{1}$ з умоваю $0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1$ амаль усе прамежкі $(T,T+H]$ пры $H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}$ утрымліваюць не менш чым $H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}$ нулёў функцыі $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ . Гэтая ацэнка вельмі блізкая да тае, што вынікае з гіпотэзы Рымана.

Цікавыя факты

Вядомы адказ Гільберта на пытанне, якія будуць яго дзеянні, калі ён па нейкай прычыне праспіць пяцьсот гадоў і раптам прачнецца. Матэматык адказаў, што перш за ўсё спытае, ці была даказана гіпотэза Рымана.
Гіпотэза Рымана адносіцца да знакамітых адкрытых праблем матэматыкі, у лік якіх у свой час уваходзіла і тэарэма Ферма. Як вядома, Ферма зрабіў запіс аб тым, што даказаў сваю тэарэму, не пакінуўшы самога доказу, і тым самым кінуў выклік наступным пакаленням матэматыкаў. Брытанскі матэматык Г. Х. Хардзі скарыстаў сітуацыю з гэтымі праблемамі для забеспячэння ўласнай бяспекі ў час марскіх падарожжаў. Кожны раз перад адпраўкаю ў падарожжа ён адпраўляў аднаму са сваіх калег тэлеграму: ДАКАЗАЎ ГІПОТЭЗУ РЫМАНА КРПК ПАДРАБЯЗНАСЦІ ПА ВЯРТАННІ КРПК. Хардзі лічыў, што бог не дапусціць паўтарэння сітуацыі з тэарэмаю Ферма і дазволіць яму шчасліва вярнуцца з плавання^[24].

Гл. таксама

Адкрытыя матэматычныя праблемы

Зноскі

1 2 Weisstein, Eric W.. Riemann Hypothesis (нявызн.). MathWorld.
↑ Rules for the Millennium Prizes Архівавана 10 снежня 2011.
↑ Гэта выглядае дзіўнавата, бо $\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.$
Няроўнасць парушаецца пры n = 5040 і некаторых меншых значэннях, але Гай Робін у 1984 годзе паказаў, што яно выконваецца для ўсіх большых цэлых, калі спраўджваецца гіпотэза Рымана.
↑ Jeffrey C. Lagarias (2002). "An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis". The American Mathematical Monthly. 109 (6): 534–543. doi:10.2307/2695443. JSTOR 2695443. MR 1908008.
↑ Andrew Odlyzko, Herman te Riele (1985). "Disproof of the Mertens conjecture". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138–160. MR 0783538. Архівавана з арыгінала 11 ліпеня 2012. Праверана 10 чэрвеня 2014. {{cite journal}}: Невядомы параметр |deadurl= ігнараваны (прапануецца |url-status=) (даведка) Архіўная копія (нявызн.). Архівавана з першакрыніцы 11 ліпеня 2012. Праверана 10 чэрвеня 2014.
↑ Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Архівавана 13 чэрвеня 2010.
↑ Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.
↑ Jones J. P., Undecidable diophantine equations
↑ Martin Davis, Diophantine Equations & Computation Архівавана 24 мая 2010.
↑ Martin Davis, The Incompleteness Theorem
↑ Громмер Яков Пинхусович // Сотрудничество Беларусь — ЕС: наука и культура (руск.)
↑ Weisstein, Eric W.. Lehmer's Phenomenon (нявызн.). MathWorld.
↑ Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» (англ.)
↑ Purdue mathematician claims proof for Riemann hypothesis. Purdue News
↑ Deligne P. (1974). "La conjecture de Weil. I". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43: 273–307. doi:10.1007/BF02684373. MR 0340258.
↑ Sheats J. (1998). "The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]". Journal of Number Theory. 71 (1): 121–157. doi:10.1006/jnth.1998.2232.
↑ Hardy, G.H. (1914). "Sur les zeros de la fonction $\zeta (s)$ ". Comp. Rend. Acad. Sci. (158): 1012–1014.
↑ Littlewood, J.E. (1921). "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line". Math. Zeits. (10): 283–317.
↑ Selberg, A. (1942). "On the zeros of Riemann's zeta-function". Shr. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1–59.
↑ Карацуба, А. А. (1984). "О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой". Изв. РАН. Сер. матем. (48:3): 569–584.
↑ Карацуба, А. А. (1984). "Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)". Изв. РАН. Сер. матем. (48:6): 1214–1224.
↑ Карацуба, А. А. (1985). "О нулях дзета-функции Римана на критической прямой". Труды МИАН (167): 167–178.
↑ Карацуба, А. А. (1992). "О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой". Изв. РАН. Сер. матем. (56:2): 372–397.
↑ С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

Літаратура

Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. — 2005. — В. 35.
Bombieri, Enrico (2000). The Riemann Hypothesis - official problem description (PDF). Clay Mathematics Institute. Праверана 2008-10-25. {{cite book}}: Шаблон цытавання мае пусты невядомы параметр: |1= (даведка)
Conrey, Brian (2003). The Riemann Hypothesis (PDF). Notices of the American Mathematical Society. pp. 341–353.
Sarnak, Peter (2008). "Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis". In Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea (рэд-ры). The Riemann Hypothesis (PDF). CMS Books in Mathematics. New York: Springer. pp. 107–115. ISBN 978-0387721255. Архівавана з арыгінала (PDF) 15 лістапада 2012. Праверана 10 чэрвеня 2014. {{cite book}}: Невядомы параметр |deadurl= ігнараваны (прапануецца |url-status=) (даведка) Архівавана 15 лістапада 2012.

Спасылкі

Len Goodman and Eric W. Weisstein.. Riemann Hypothesis (нявызн.). MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[MW-1] 1 2 Weisstein, Eric W.. Riemann Hypothesis (нявызн.). MathWorld.

[2] Rules for the Millennium Prizes Архівавана 10 снежня 2011.

[3] Гэта выглядае дзіўнавата, бо $\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.$
Няроўнасць парушаецца пры n = 5040 і некаторых меншых значэннях, але Гай Робін у 1984 годзе паказаў, што яно выконваецца для ўсіх большых цэлых, калі спраўджваецца гіпотэза Рымана.

[4] Jeffrey C. Lagarias (2002). "An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis". The American Mathematical Monthly. 109 (6): 534–543. doi:10.2307/2695443. JSTOR 2695443. MR 1908008.

[5] Andrew Odlyzko, Herman te Riele (1985). "Disproof of the Mertens conjecture". Journal für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138–160. MR 0783538. Архівавана з арыгінала 11 ліпеня 2012. Праверана 10 чэрвеня 2014. {{cite journal}}: Невядомы параметр |deadurl= ігнараваны (прапануецца |url-status=) (даведка) Архіўная копія (нявызн.). Архівавана з першакрыніцы 11 ліпеня 2012. Праверана 10 чэрвеня 2014.

[6] Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Архівавана 13 чэрвеня 2010.

[7] Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.

[8] Jones J. P., Undecidable diophantine equations

[9] Martin Davis, Diophantine Equations & Computation Архівавана 24 мая 2010.

[10] Martin Davis, The Incompleteness Theorem

[phi-11] Громмер Яков Пинхусович // Сотрудничество Беларусь — ЕС: наука и культура (руск.)

[12] Weisstein, Eric W.. Lehmer's Phenomenon (нявызн.). MathWorld.

[13] Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» (англ.)

[14] Purdue mathematician claims proof for Riemann hypothesis. Purdue News

[15] Deligne P. (1974). "La conjecture de Weil. I". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 43: 273–307. doi:10.1007/BF02684373. MR 0340258.

[16] Sheats J. (1998). "The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for F_q[T]". Journal of Number Theory. 71 (1): 121–157. doi:10.1006/jnth.1998.2232.

[17] Hardy, G.H. (1914). "Sur les zeros de la fonction $\zeta (s)$ ". Comp. Rend. Acad. Sci. (158): 1012–1014.

[18] Littlewood, J.E. (1921). "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line". Math. Zeits. (10): 283–317.

[19] Selberg, A. (1942). "On the zeros of Riemann's zeta-function". Shr. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1–59.

[20] Карацуба, А. А. (1984). "О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой". Изв. РАН. Сер. матем. (48:3): 569–584.

[21] Карацуба, А. А. (1984). "Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)". Изв. РАН. Сер. матем. (48:6): 1214–1224.

[22] Карацуба, А. А. (1985). "О нулях дзета-функции Римана на критической прямой". Труды МИАН (167): 167–178.

[23] Карацуба, А. А. (1992). "О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой". Изв. РАН. Сер. матем. (56:2): 372–397.

[24] С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]