Геаметрычная імавернасць

У тэорыі імавернасцей геаметрычная імавернасць — мадэль імавернаснай прасторы для задач, у якіх прастора элементарных падзей ёсць некаторым падмноствам прасторы $\mathbb {R} ^{n}$ ^[1]^:24-25.

Азначэнне

Няхай $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ і $\Omega$ мае канечны дадатны $n$ -мерны аб’ём, які пазначым праз $|\Omega |$ . Праз ${\mathcal {A}}$ пазначым некаторую σ-алгебру вымерных па Лебегу падмностваў $\Omega$ . За імавернасць падзеі $A\in {\mathcal {A}}$ прымаецца лік

P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},

дзе праз $|A|$ пазначаны $n$ -мерны аб’ём (мера Лебега) мноства $A$ .

Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега.

Выкарыстанне

Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

Прыклады

Задача Бюфона

Ілюстрацыя да задачы Бюфона

Адзін з прыкладаў выкарыстання геаметрычнай імавернасці — задача Бюфона^[1]^:26-27.

На гарызантальную паверхню, разлінееную паралельнымі прамымі на адлегласці $2a$ паміж сабой кідаецца іголка даўжынёй $2l$ , $0<l<a$ . Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што іголка перасячэ якую-кольвек прамую.

Развязанне

Становішча іголкі можна параметрызаваць значэннямі $x$ і $\varphi$ , дзе $x\in [0,a]$ — адлегласць паміж цэнтрам іголкі і бліжэйшай прамой, а $\varphi \in [0,\pi ]$ — вугал паміж іголкай і прамымі. Параметры $x$ і $\varphi$ незалежныя адзін ад аднаго, таму за прастору элементарных падзей можна прыняць прамавугольнік $\Omega =[0,\pi ]\times [0,a]$ .

З ілюстрацыі відаць, што іголка перасякае прамую тады і толькі тады, калі $x\leq \sin {\varphi }$ . Такім чынам, падзея перасячэння адпавядае мноству $A=\{(\varphi ,x)|0\leq \varphi \leq \pi ,0\leq x\leq l\sin {\varphi }\}$ . Знойдзем плошчу мноства $A$ , палічыўшы інтэграл

|A|=\int _{0}^{\pi }l\sin {\varphi }d\varphi =-l\cos {\phi }{\Bigg |}_{0}^{\pi }=2l.

Па формуле геаметрычнай імавернасці знаходзім $P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {2l}{a\pi }}.$

Зноскі

1 2 Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[elemienty-1] 1 2 Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

[1]