На самай справе названыя суадносіны нявызначанасцяў можна атрымаць, зыходзячы з ураўненняў Эйнштэйна

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$,

дзе ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }}$ — тэнзар Эйнштэйна, які аб'ядноўвае тэнзар Рычы, скалярную крывізну і метрычны тэнзар, ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ — тэнзар Рычы, які атрымліваецца з тэнзара крывізны прасторы-часу ${\displaystyle R_{abcd}}$ шляхам згорткі яго па пары індэксаў, ${\displaystyle R}$ — скалярная крывізна, г. зн. згорнуты тэнзар Рычы, ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — метрычны тэнзар, ${\displaystyle \Lambda }$ — касмалагічная пастаянная, а ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ уяўляе сабой тэнзар энергіі-імпульсу матэрыі, ${\displaystyle \pi }$ — лік пі, ${\displaystyle c}$ — хуткасць святла ў вакууме, ${\displaystyle G}$ — гравітацыйная пастаянная Ньютана.

Пры вывадзе сваіх ураўненняў Эйнштэйн выказаў здагадку, што фізічная прастора-час з'яўляецца рыманавай, г. зн. скрыўленай. Малая вобласць рыманавай прасторы блізкая да плоскай прасторы.

Для любога тэнзарнага поля ${\displaystyle N_{\mu \nu \dots }}$ велічыню ${\displaystyle N_{\mu \nu \dots }{\sqrt {-g}}}$ можна назваць тэнзарнай шчыльнасцю, дзе ${\displaystyle g}$ — вызначальнік метрычнага тэнзара ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$. Калі вобласць інтэгравання малая, ${\displaystyle \int N_{\mu \nu \dots }{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ з'яўляецца тэнзарам. Калі вобласць інтэгравання не малая, то гэты інтэграл не будзе тэнзарам, бо ўяўляе сабой суму тэнзараў, зададзеных ў розных кропках і, такім чынам, не пераўтворыцца па якім-небудзь простым законе пры пераўтварэннях каардынатаў^[3]. Тут разглядаюцца толькі малыя вобласці. Вышэйсказанае справядліва і пры інтэграванні па трохмернай гiперпаверхнi ${\displaystyle S^{\nu }}$.

Такім чынам, ураўненні Эйнштэйна для малой вобласці псеўдарыманавай прасторы-часу можна праiнтэграваць па трохмернай гiперпаверхнi ${\displaystyle S^{\nu }}$. Маем^[2][4]

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{4}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$

Так як інтэгруемая вобласць прасторы-часу малая, атрымліваем тэнзарнае ўраўненне

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }}$,

дзе ${\displaystyle P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$ — 4-імпульс; i ${\displaystyle R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }}$ — радыус крывізны малой вобласці прасторы-часу.

Атрыманае тэнзарнае ўраўненне можна перапісаць у іншым выглядзе. Так як ${\displaystyle P_{\mu }=mc\,U_{\mu }}$, то

${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }}$,

дзе ${\displaystyle r_{g}}$ — радыус Шварцшыльда, ${\displaystyle U_{\mu }}$ — 4-хуткасць, ${\displaystyle m}$ — гравітацыйная маса. Гэты запіс раскрывае фізічны сэнс велічынь ${\displaystyle R_{\mu }}$ як кампанент гравітацыйнага радыусу ${\displaystyle r_{g}}$.

У малой вобласці прастора-час практычна плоская, і гэта ўраўненне можна напісаць у аператарным выглядзе

${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}$,

або асноўнае ўраўненне квантавай гравітацыі

Ураўненне квантавай гравітацыі[2][4] ${\displaystyle -2i\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}|\Psi (x_{\mu })\rangle ={\hat {R}}_{\mu }|\Psi (x_{\mu })\rangle }$

Тады камутатар аператараў ${\displaystyle {\hat {R}}_{\mu }}$ і ${\displaystyle {\hat {x}}_{\mu }}$ роўны

${\displaystyle [{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}}$,

адкуль вынікаюць вышэйпаказаныя суадносіны нявызначанасцяў

${\displaystyle \Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}}$

Падстаўляючы сюды значэнні ${\displaystyle R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }}$ і ${\displaystyle \ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}}$ і скарачаючы справа і злева аднолькавыя сімвалы, атрымліваем суадносіны нявызначанасцяў Гейзенберга:

${\displaystyle \Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }=\Delta (mc\,U_{\mu })\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

У прыватным выпадку статычнага сферычна сіметрычнага поля і статычнага размеркавання матэрыі маем ${\displaystyle U_{0}=1;U_{i}=0\,(i=1,2,3)}$, і застаецца

${\displaystyle \Delta {R_{0}}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}$,

дзе ${\displaystyle r_{g}}$ — радыус Шварцшыльда, ${\displaystyle r}$ — радыяльная каардыната. Тут ${\displaystyle R_{0}=r_{g}}$, а ${\displaystyle x_{0}=c\,t=r}$, бо на планкаўскім узроўні матэрыя рухаецца з хуткасцю святла. Апошнiя суадносіны нявызначанасцяў дазваляюць рабіць некаторыя ацэнкі ўраўненняў агульнай тэорыi адноснасцi ў дачыненні да планкаўскага маштаба. Напрыклад, выраз для інварыянтнага інтэрвала ${\displaystyle dS}$ у вырашэнні Шварцшыльда мае выгляд

${\displaystyle dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Падстаўляючы сюды, згодна з суадносінамі нявызначанасцяў, замест ${\displaystyle r_{g}}$ велічыню ${\displaystyle r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r}$, атрымаем^[2]

${\displaystyle dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})}$

Відаць, што на планкаўскім узроўні ${\displaystyle r=\ell _{P}}$ інварыянтны інтэрвал ${\displaystyle dS}$ абмежаваны знізу планкаўскай даўжынёй, на гэтым маштабе з'яўляецца дзяленне на нуль, што азначае стварэнне рэальных і віртуальных планкаўскiх чорных дзір.

Аналагічныя ацэнкі можна атрымаць і для іншых ураўненняў агульнай тэорыi адноснасці.

Выпісаныя вышэй суадносіны нявызначанасцяў справядлівыя для любых гравітацыйных палёў.