Вышыня ў трохвугольніках розных відаў

Вышыня́ трохвугольніка — перпендыкуляр, праведзены з вяршыні трохвугольніка да прамой, якая змяшчае процілеглую старану. У залежнасці ад віду трохвугольніка вышыня можа праходзіць унутры трохвугольніка (для востравугольнага трохвугольніка), супадаць з яго стараною (катэтам прамавугольнага трохвугольніка) ці праходзіць па-за трохвугольнікам (для тупавугольнага).

Уласцівасці

Вышыні трохвугольніка

• Вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, так званым артацэнтры. Гэта сцвярджэнне лёгка даказаць, карыстаючыся вектарнаю тоеснасцю, справядліваю для любых пунктаў A, B, C, E (нават калі яны не ляжаць у адной плоскасці):

${\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}$

(Каб даказасць тоеснасць, трэба скарыстаць формулы

${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}$

У якасці пункта E трэба ўзяць перасячэнне дзвюх вышынь трохвугольніка.)

• У востравугольным трохвугольніку артацэнтр ляжыць унутры трохвугольніка; у тупавугольным — па-за трохвугольнікам; у прамавугольным — у вяршыні прамога вугла.
• У прамавугольным трохвугольніку вышыня, праведзеная з вяршыні прамога вугла, разбівае яго на два трохвугольнікі, падобныя зыходнаму.
• У востравугольным трохвугольніку дзве яго вышыні адсякаюць ад яго падобныя трохвугольнікі.
• Асновы вышынь утвараюць так званы ортатрохвугольнік, які мае свае ўласцівасці.

Найменшая з вышынь трохвугольніка мае экстрэмальныя уласцівасці. Напрыклад:

• Найменшая артаганальная праекцыя трохвугольніка на прамыя, што ляжаць у плоскасці трохвугольніка, мае даўжыню, роўную найменшай з яго вышынь.
• Найменшы прамалінейны разрэз у плоскасці, праз які можна працягнуць незгінальную трохвугольную пласціну, павінен мець даўжыню, роўную найменшай з вышынь гэтай пласціны.
• Пры непарыўным руху двух пунктаў па перыметры трохвугольніка насустрач адзін аднаму, найбольшая адлегласць паміж імі не можа быць меншаю за даўжыню найменшай з вышынь трохвугольніка.

Найменшая вышыня ў трохвугольніку заўсёды праходзіць унутры гэтага трохвугольніка.

Асноўныя суадносіны

• ${\displaystyle h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ,}$
• ${\displaystyle h_{a}={\frac {2S}{a}},}$

дзе ${\displaystyle S}$ — плошча трохвугольніка, ${\displaystyle a}$ — даўжыня стараны трохвугольніка, на якую апушчана вышыня.

• ${\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ac:ab.}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}}$, дзе r — радыус упісанай акружнасці.
• Вышыня раўнабедранага трохвугольніка, апушчаная на аснову:

${\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},}$

дзе ${\displaystyle c}$ — аснова.

• ${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$ — вышыня ў роўнастароннім трохвугольніку.

Тэарэма аб вышыні прамавугольнага трохвугольніка

Калі вышыня даўжынёю h, праведзеная з вяршыні прамога вугла, дзеліць гіпатэнузу даўжынёю c на адрэзкі m і n, адпаведныя катэтам b і a, то верныя наступныя роўнасці:

• ${\displaystyle h^{2}=nm}$
• ${\displaystyle a^{2}=cn}$
• ${\displaystyle b^{2}=cm}$
• ${\displaystyle hc=ab}$

Мнеманічны верш

Вышыня

Падобна на ката́,

Што выгнуў спі́ну

І пад прамым вуглом

Злучыў вяршыню

І старану хвастом.

Спасылкі

• Даведнік: Трохвугольнікі (руск.)