Біекцыя — гэта адлюстраванне, якое з’яўляецца адначасова і сюр’ектыўным, і ін’ектыўным. Пры біектыўным адлюстраванні кожнаму элементу аднаго мноства адпавядае роўна адзін элемент іншага мноства, пры гэтым азначана адваротнае адлюстраванне, якое мае тыя самыя ўласцівасці. Таму біектыўнае адлюстраванне яшчэ называюць узаемна-адназначным адлюстраваннем (адпаведнасцю), адна-адназначным адлюстраваннем.
Калі між двума мноствамі можна выявіць узаемна-адназначную адпаведнасць (біекцыю), то такія мноствы называюцца роўнамагутнымі. З пункту гледжання тэорыі мностваў, роўнамагутныя мноствы не адрозніваюцца.
Узаемна-адназначнае адлюстраванне канечнага мноства ў сябе называецца перастаноўкай (або падстаноўкай) элементаў гэтага мноства.
Азначэнне
Функцыя называецца біекцыяй (і пазначаецца ), калі яна:
- Пераводзіць розныя элементы мноства у розныя элементы мноства (ін’ектыўнасць). Іначай кажучы,
- .
- Кожны элемент з мае свой правобраз (сюр’ектыўнасць). Іначай кажучы,
- .
Прыклады
- Тоеснае адлюстраванне на мностве біектыўнае.
- — біектыўныя функцыі з у сябе. Наогул, любы маном адной пераменнай няцотнай ступені з’яўляецца біекцыяй з у сябе.
- — біектыўная функцыя з у .
- не з’яўляецца біектыўнай функцыяй, калі лічыць яе акрэсленай на ўсім .
- Строга манатонная і неперарыўная функцыя з’яўляецца біекцыяй з адрэзка на адрэзак .
Уласцівасці
- Функцыя з’яўляецца біектыўнай тады і толькі тады, калі існуе адваротная функцыя такая, што
- и
- Калі функцыі і біектыўныя, то і кампазіцыя функцый біектыўная, у гэтым выпадку . Коратка: кампазіцыя біекцый з’яўляецца біекцыяй. Адваротнае, аднак, няверна: калі біектыўная, то мы можам казаць толькі, што ін’ектыўная, а сюр’ектыўная.
Літаратура
- Н. К. Верещагин, А. Шень. Часть 1. Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. — 2-е изд., испр. — 128 с.