Шчыльнасць імавернасці

Анімацыя шчыльнасці бэта-размеркавання для розных значэнняў параметраў.

Шчыльнасць імавернасці бэта-размеркавання для 0 ≤ x ≤ 1 або 0 < x < 1 і параметраў формы α, β > 0 — ступеневая функцыя ад  x і (1 − x):

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constant} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[3pt]&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}$

дзе Γ(z) — гама-функцыя. Бэта-функцыя ${\displaystyle \mathrm {B} }$ — нарміровачны множнік, які забяспечвае выкананне аксіёмы нармаванасці.

Калі выпадковая велічыня X мае бэта-размеркаванне з параметрамі α і β, пішуць^[1][2]

${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$

Часам ужываюць таксама абазначэнні ${\displaystyle X\sim {\mathcal {B}}e(\alpha ,\beta )}$^[3] і ${\displaystyle X\sim \beta _{\alpha ,\beta }}$.^[4]

Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання мае выгляд

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} {}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta ),}$

дзе ${\displaystyle \mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}$ — няпоўная бэта-функцыя, а ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ — рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя.