Карыстаючыся роўнасцю ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ выпісваем паслядоўна некалькі членаў прагрэсіі:

${\displaystyle a_{2}=a_{1}+d}$

${\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d}$

${\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d}$

${\displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d}$

Заўважыўшы заканамернасць, выказваем здагадку, што ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$. З дапамогай матэматычнай індукцыі пакажам, што здагадка праўдзіцца для ўсіх натуральных n:

Першы крок індукцыі ${\displaystyle (n=1)}$ :

${\displaystyle a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}}$ - сцверджанне праўдзівае.

Пераход індукцыі:

Хай наша сцверджанне праўдзіцца пры ${\displaystyle n=k}$, гэта значыць ${\displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d}$. Дакажам справядлівасць сцверджання пры ${\displaystyle n=k+1}$:

${\displaystyle a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd}$

Такім чынам, сцвержанне праўдзіцца і пры ${\displaystyle n=k+1}$. Гэта азначае, што ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ для ўсіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Неабходнасць:

Раз паслядоўнасць ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, то для ${\displaystyle n\geq 2}$ праўдзяцца роўнасці:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d,}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d.}$

Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.}$

Дастатковасць:

Маем, што для кожнага элемента паслядоўнасці, пачынаючы з другога, праўдзіцца ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}.}$ Трэба паказаць, што гэта паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй. Прывядзём гэту формулу да выгляду :${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}.}$

Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць.

Запішам суму двума спосабамі:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}S_{n}&=&a_{1}&+&a_{2}&+&a_{3}&+&\ldots &+&a_{n-2}&+&a_{n-1}&+&a_{n},\\S_{n}&=&a_{n}&+&a_{n-1}&+&a_{n-2}&+&\ldots &+&a_{3}&+&a_{2}&+&a_{1}.\end{array}}}$

У другім радку тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.

Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы пары складнікаў, якія стаяць на адной вертыкалі:

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1}).}$

Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна пада́ць як ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},\ i=1,2,\ldots ,n}$. Скарыстаемся формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots ,n.}$

Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад i і роўная ${\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$. У прыватнасці, ${\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}$. А раз такіх складнікаў n, то

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n}$

Адсюль вынікае роўнасць

${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}$.

Другая формула для сумы атрымліваецца падстаноўкай ${\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$ замест ${\displaystyle a_{1}+a_{n}}$.

Заўвага:

Замест ${\displaystyle a_{1}+a_{n}}$ у першай формуле сумы можна ўзяць любы з іншых складнікаў ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},\ i=2,3,\ldots ,n}$, бо ўсе яны роўныя між сабой.

Праверым адметную ўласцівасць для ўтворанай паслядоўнасці:

${\displaystyle {\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.}$

Выкарыстаем выраз агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

${\displaystyle {\sqrt {b^{a_{n-1}}\cdot b^{a_{n+1}}}}={\sqrt {b^{a_{1}+(n-2)d}\cdot b^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {b^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(b^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=b^{a_{1}+(n-1)d}=b^{a_{n}},\qquad n\geq 2.}$

А як адметная ўласцівасць праўдзіцца, то паслядоўнасць ${\displaystyle b^{a_{1}},b^{a_{2}},b^{a_{3}},\ldots }$ ёсць геаметрычнаю прагрэсіяй. Яе назоўнік можна знайсці з роўнасці ${\displaystyle q={\frac {b^{a_{2}}}{b^{a_{1}}}}={\frac {b^{a_{1}+d}}{b^{a_{1}}}}=b^{d}.}$

Запісаўшы выраз агульнага члена і разгле́дзеўшы граніцу ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{1}+(n-1)d)}$, атрымліваем патрэбны вынік.