Тэорыя імавернасцей
Імавернасць Аксіёмы Выпадковасць
Імавернасная прастора Геаметрычная імавернасць Прастора элементарных падзей Выпрабаванне Выпадковая падзея Поўная група падзей
Выпадковая велічыня Матэматычнае спадзяванне Дысперсія Размеркаванне імавернасцей Бернулі Біномнае Нармальнае Імавернасная мера
Умоўная імавернасць Незалежнасць Тэарэма множання імавернасцей Формула поўнай імавернасці Тэарэма Баеса
Закон вялікіх лікаў Цэнтральная лімітавая тэарэма

У тэорыі імавернасцей імавернасная прастора або імавернасная тройка ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ — матэматычнае паняцце, якое забяспечвае фармальную мадэль выпадковага працэсу або «выпрабавання».

Імавернасная прастора складаецца з трох элементаў^[1]:12:

1. Прасторы элементарных падзей ${\displaystyle \Omega }$ — мноства ўсіх магчымых зыходаў выпрабавання.
2. Алгебры падзей ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, дзе падзеямі называюцца падмноствы ${\displaystyle \Omega }$.
3. Імавернаснай меры ${\displaystyle P}$, якая супастаўляе кожнай падзеі з ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ пэўную імавернасць (рэчаісны лік паміж 0 і 1).

Імавернасная прастора павінна адпавядаць аксіёмам тэорыі імавернасцей.

Пара ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ называецца вымернай прасторай^[1]:68.

Прыклад дыскрэтнай імавернаснай прасторы

Для прыкладу разгледзім выпрабаванне, якое палягае ў аднакратным падкіданні двух сіметрычных гульнявых кубікаў. У якасці элементарных падзей возьмем усе магчымыя сумы ачкоў, што выпалі на кубіках^[1]:20-21. Тады прастора элементарных падзей мае выгляд

$${\displaystyle \Omega =\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.}$$

Значэнне імавернаснай меры для кожнай элементарнай падзеі ${\displaystyle \omega }$:

${\displaystyle \omega }$	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
${\displaystyle P(\{\omega \})}$	${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {4}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {6}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {4}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{36}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{36}}}$

Алгебрай падзей ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ будзе мноства ўсіх падмностваў ${\displaystyle \Omega }$. Імавернасць некаторай падзеі ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ зададзім згодна з прынцыпам адытыўнасці як суму імавернасцей усіх элементарных падзей, што ўваходзяць у ${\displaystyle A}$:

$${\displaystyle P(A)=P\left(\bigcup _{\omega \in A}\{\omega \}\right)=\sum _{\omega \in A}P({w}).}$$

Напрыклад падзею "сума ачкоў кратная 3" можна запісаць як ${\displaystyle A=\{3,6,9,12\}}$. Імавернасць такой падзеі роўная

$${\displaystyle P(A)=P(\{3,6,9,12\})=}$$

$${\displaystyle =P(\{3\})+P(\{6\})+P(\{9\})+P(\{12\})=}$$

$${\displaystyle ={\frac {2}{36}}+{\frac {5}{36}}+{\frac {4}{36}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{3}}.}$$

Геаметрычная імавернасць

Няхай ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle \Omega }$ мае канечны дадатны ${\displaystyle n}$-мерны аб'ём, які пазначым праз ${\displaystyle |\Omega |}$. Праз ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ пазначым некаторую σ-алгебру вымерных па Лебегу падмностваў ${\displaystyle \Omega }$. За імавернасць падзеі ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ прымаецца лік

$${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},}$$

дзе праз ${\displaystyle |A|}$ пазначаны ${\displaystyle n}$-мерны аб'ём (мера Лебега) мноства ${\displaystyle A}$.

Такая мадэль імавернаснай прасторы называецца геаметрычнай імавернасцю^[1]:24-25. Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега. Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства ${\displaystyle \Omega }$ і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя па гэтым мностве.

Мадэль геаметрычнай імавернасці паказвае існаванне тэарэтычна магчымых падзей, імавернасць якіх роўна нулю. Такой падзеяй з'яўляецца напрыклад пападанне часціцы ў загадзя зададзены пункт, бо аб'ём аднапунктавага мноства роўны нулю.

Зноскі