Əyrinin uzunluğu

Əgər, uyğun olaraq ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$ , ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3})}$ koordinatlarına malik ${\displaystyle A}$ və ${\displaystyle B}$ nöqtələri verilmiş ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ fəzaya aiddrsə, onda bu koordinatlar arasındakı ${\displaystyle AB}$ parçasının uzunluğu Pifaqor teoreminə görə hesablanır:

${\displaystyle |AB|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}}$

Müstəvi üzərində və ya fəzada yol iki və ya üç koordinat funksiyası ilə verilir:

${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}$ uyğun olaraq ${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t),z(t))}$, ${\displaystyle a\leq t\leq b}$ şərti daxilində.

Hissə-hissə kəsilməyən yolun uzunluğu onun vektorunun inteqrallanması ilə əldə edilir:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$ uyğun olaraq ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$

Müstəvidə verilmiş yol polyar koordinat sistemnində ${\displaystyle r(\varphi )}$ şəklind təyin olunmuşsa, onda

${\displaystyle \varphi _{0}\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$ üçün ${\displaystyle \varphi \mapsto (r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi )}$

hasil qaydasından alınır

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }$ və

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }$, bununla

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}=\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}$.

Buradan polyar koordinat siistemondə yolun uzunluğu belə tapılır:

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi }$.

Uzunluq (Fizika)

Uzunluq (Cəbr)