Transsendent ədəd

• Bir çox transsendent ədəd kontinualdır.
• Hər bir transsendent həqiqi ədəd irrasionaldır, amma əks proses tamamilə yanlışdır, yəni bütün irrasional ədədlər transsendent ədəd deyildir. Məsələn, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ədədi — irrasionaldır, amma transsendent ədəd deyildir: çünki bu ədəd ${\displaystyle \!x^{2}-2}$ çoxhədlisinin köküdür (və buna görə də bu ədəd cəbri ədəddir).
• Bir çox həqiqi transsendent ədəd sırası, bir çox irrasional ədəd sırası ilə izomorfdur.
• Demək olar ki, hər bir transsendent ədədin irrasionallığının ölçüsü 2-yə bərabərdir.

• ${\displaystyle \!\pi }$ ədədi.
• ${\displaystyle \!e}$ ədədi[1].
• İstənilən tam ədədin (${\displaystyle \!10^{n}}$-dən başqa) onluq loqarifması[2].
• ${\displaystyle \!\sin a}$, ${\displaystyle \!\cos a}$ və ${\displaystyle \!\mathrm {tg} \,a}$, sıfırdan fərqli ixtiyari ${\displaystyle \!a}$ cəbri ədədi üçün (Lindeman — Veyerştrass teoreminə görə).

İlk dəfə transsendent ədəd anlayışını elmə, 1844-cü ildə Liuvill Jozefal daxil etdi. O, öz teoremində sübut etdi ki, cəbr ədədə, rasional kəsrlə yaxınlaşmaq mümkün deyil.

1873-cü ildə Ermit Şarl , natural loqarifmaların əsaslarında e ədədinin transsendentliyini sübut etdi.

1882-ci ildə Lindeman Ferdinand sıfırdan fərqli cəbr göstəricisi ilə e ədədinin dərəcəsinin transsendentliyi haqqında teoremi sübut etdi, bununla da ${\displaystyle \pi }$ ədədinin və dairə kvadraturası məsələsinin həll edilməzliyinin transsendentliyini sübut etdi.

1900-cü ildə keçirilən II Riyaziyyatçıların Beynəlxalq konqressind ə Hilbert David iştirakçılara qeyd edilmiş problemlər arasında yeddinci problemi açıqladı: " Əgər ${\displaystyle a\neq 0}$ — cəbri ədəddirsə və eyni zamanda ${\displaystyle \!b}$ ədədi də cəbridirsə, amma irrasionaldırsa, ${\displaystyle \!a^{b}}$ —nin transsendent ədəd olduğunu söyləmək düzgun olarmı?" Xüsusi halda, ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ ədədi transsendentdir. Bu problem 1934-cü ildə Gelfondom tərəfindən həll edilmişdi. O, sübut etdi ki, bütün bu tip ədədlər həqiqətən transsendentdir.

• ${\displaystyle \ln \pi }$ ədədinin rasional, cəbri, irrasional və ya transsendent ədəd olduğu məlum deyil[3].

• ${\displaystyle \ln 2,\ln 3}$ ədədlərinin üçün irrasionallığı naməlumdur[4].

1. "Proof that ${\displaystyle e}$ is transcendental". 2011-08-15 tarixində orijinalından arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2014-01-03.
2. Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.
3. Weisstein, Eric W. "${\displaystyle \pi }$ ədədi". Wolfram MatWorld saytından. 2014-12-06 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2014-01-03.  (ing.)
4. Weisstein, Eric W. "İrrasionallıq". Wolfram MatWorld saytından. 2015-04-21 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2014-01-03.  (ing.)