Natural loqarifm

Natural loqarifm birinci dəfə Nikolaus Merkator tərəfində 1668-ci ildə dərc edilmiş Logarithmotechnia əsərində qeyd etmişdir[2]. Hərçənd ki, hələ 1619-cu ildə riyaziyyat müəllimi olan Con Spaydell natural loqarifmlərın cədvəlini qurmuşdu[3]. Əvvəllər bu loqarifmi hiperbolik loqarifm adlandırırdılar[4], çünki natural loqarifm hiperbolain altındakı sahədə təyin olunur. Bəzən bu loqarifmi Nepera loqarifmi da adlandırırlar.

• ${\displaystyle \ln(1)=0}$
• ${\displaystyle \ln(-1)=i\pi }$

(kompleks loqarifm)

• ${\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\text{for}}\quad 0<x<y}$
• ${\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\text{for}}\quad h>-1}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.}$

Əvvəla onu demək olar ki, hal-hazırda biz onluq say sistemindən istifadə edirik və bu əsas e əsasından daha da naturaldır. Lakin 10 riyazi ədədinin ayrıca əhəmiyyəti yoxdur. Bu əsas ən çox məişətdə istifadə olunur. Bu əsas bir çox hesablama sistemləri üçün ümumidir. Bu fikri insan barmaqlarının 10 ədəd olması ilə bağlayırlar[5]. Bəzi sivilizasiyalar başqa əsaslar ilə öz hesablama sistemlərini qurmuşdur: 2, 5, 8, 12, 20 və 60[6][7][8].

log_e loqarifmi isə "natural" loqarifmdir, çünki, bu əsas riyaziyyatda çox sıx rast gəlinir. Məsələn, loqarifmik funksiyasının törəmə probleminə baxaq:[9]

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\ln(b)}}\ln {x}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(b)}}}$

Əgər b əsası e-yə bərabərdirsə, onda törəmə sadəcə 1/x-ə bərabərdir və x = 1 olduqda bu törəmə vahidə bərabərdir. Başqa əsaslandırılma, loqarifm e əsasında ən "naturaldır", bunu sadəcə inteqralın və ya bir sıra Teylor terminləri ilə təyin etmək olar. Bu fikri başqa loqarifmlər haqqında demək olmaz.

Naturallığın bir sonrakı əsaslandırılması hesablamayla bağlı deyildir. Belə ki, məsələn, natural loqarifmlərlə bağlı bir neçə sadə sıra var idi. Petro Menqoli və Nikolay Merkator bu sıranı loqarifmus naturalis bir neçə onluq sırası adlandırırdı. Lakin, o vaxtı hələ Nyuton və Leybnits diferensialı kəşf edilməşdir və inteqral hesablamadan istifadə olunmurdu[10].

ln(a), f (x)= 1 əyrisinin altındakı sahədə 1-dən a-ya kimi təyin edilir

Adətən ln (a) qrafikdə 1/x əyrisi altındakı sahədə 1-dən a-ya qədər təyin olunur, yəni inteqralı aşağıdakı kimidir:

${\displaystyle \ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$

Natural loqarifm, həqiqətən də loqarifmdır, çünki natural loqarifm, loqarifmin fundamental xüsusiyyətlərinə cavab verir:

${\displaystyle \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)}$

Bunu göstərmək üçün ${\displaystyle t={\tfrac {x}{a}}}$ olduğunu güman edib, aşağıdakı qaydanı yerinə yetirmək lazımdır:

${\displaystyle \ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)}$

ln (a) = 1 olduqda e ədədi a-nın yeganə həqiqi ədədi kimi təyin olunur.

Yaxud, əgər nümunəvi funksiya əvvəl mənfi sonsuz sıralarda təyin olunursa, natural loqarifm ona əks funksiyadır, yəni ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x\!}$. Çünki həqiqi arqumentlərin, səciyyəvi funksiyanın qiymətlər oblastında bütün müsbət həqiqi ədədləri mövcuddur. Səciyyəvi funksiya artandır və bütün müsbət x-lər üçün təyin olunan funksiyadır.

Teylor çoxhədliləri ${\displaystyle \ln(1+x)\,}$ üçün yalnız - 1 < x ≤ 1 oblastında dəqiq yaxınlaşmanı verir. Qeyd edək ki, x > 1 olduqda Teylor çoxhədlisi zəif yaxınlaşmasını verir.

Natural loqarifmin törəməsi:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}$

Buna əsasən ${\displaystyle \ln(1+x)\,}$ ayrılışını yerinə yetirmək olar və Teylor təxminən 0 ətrafında qiymət alır və bu Merkator sırası adlandırılır:

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\dots \quad {\text{for}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad }$

${\displaystyle {\text{unless}}\quad x=-1}$

Sağda təsvir edilmiş ${\displaystyle \ln(1+x)\,}$ və başqa Teylor çoxhədliləri 0 ətrafında qiymət alır. Bu yaxınlaşma yalnız - 1 < x ≤ 1 oblastında mümkümdür və bu hüdudlar xaricində yüksək dərəcəli Teylor çoxhədliləri daha az dəqiq yaxınlaşma verir. x-in yerinə x-1 qoysaq, ln (x) üçün alternativ formanı alaq:

${\displaystyle \ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}}$

${\displaystyle \ln(x)=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\dots }$

${\displaystyle {\text{for}}\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad {\text{unless}}\quad x=0.}$[11]

Bir sıra Merkator Eyler dəyişikliyinin köməyi ilə aşağıdakı ifadəni almaq olar (yalnız x>1 olduğu halda):

${\displaystyle \ln {x \over {x-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\dots }$

Bu sıra Beyli — Borueyn — Plaffa düsturuna oxşardır.

Həmçinin onu da qeyd edək ki, ${\displaystyle x \over {x-1}}$ — bu xüsusi inverik funksiyadır, buna görə də y-in müəyyən ədədinin natural loqarifminin alınması üçün sadəcə x-ə ${\displaystyle y \over {y-1}}$ qiymətini mənimsətmək lazımdır.

Natural loqarifm g (x)= f(x) /f (x) növünün sadə inteqral funksiyasını verir: g (x) funksiyaları ln(|f(x)|) funksiyalarına bənzəyir. Bu zəncir qaydası ilə və aşağıdakı faktla təsdiq edilir:

${\displaystyle \ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.}$

Başqa növ:

${\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C}$

və

${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$

Aşağıda g (x)=tan(x) üçün nümunə verilmişdir:

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx}$

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.}$

Tutaq ki, f (x) = cos (x) və f'(x) = - sin (x):

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C}$

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C}$

${\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C}$

burada C — sərbəst sabit həddir.

Natural loqarifmi hissə-hissə inteqrallama üsulu ilə inteqrallamaq olar:

${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$

Ədədin natural loqarifminin qiymətinin hesablaması üçün sıra şərtini gözləməklə Teylor üsulundan istifadə etmək olar:

${\displaystyle \ln(1+x)=x\,\left({\frac {1}{1}}-x\,\left({\frac {1}{2}}-x\,\left({\frac {1}{3}}-x\,\left({\frac {1}{4}}-x\,\left({\frac {1}{5}}-\dots \right)\right)\right)\right)\right)\quad {\text{for}}\quad \left|x\right|<1.}$

Bu prosesi daha tez etmək üçün aşağıdakı eynilikdən istifadə etmək olar:

${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {1+y}{1-y}}\right)}$	${\displaystyle =2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}y^{2}+{\frac {1}{5}}y^{4}+{\frac {1}{7}}y^{6}+{\frac {1}{9}}y^{8}+\dots \right)}$
	${\displaystyle =2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{3}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{5}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{7}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{9}}+\dots \right)\right)\right)\right)\right)}$

Qeyd:y = (x−1) / (x+1) və x > 0 şərtini gözləməklə.

ln (x) üçün x > 1 olduqda və x nə qədər 1-ə yaxın qiymət aldıqda bu proses sürətlə gedir. Həmçinin loqarifm ilə bağlı eyniliklərdən istifadə etmək olar:

${\displaystyle \ln(123{,}456)\!}$	${\displaystyle =\ln(1{,}23456\times 10^{2})}$
	${\displaystyle =\ln(1{,}23456)+\ln(10^{2})}$
	${\displaystyle =\ln(1{,}23456)+2\times \ln(10)}$
	${\displaystyle \approx \ln(1{,}23456)+2\times 2{,}3025851}$

Bu metodlar hələ kalkulyatorlar yaranmamışdan əvvəl tətbiq edilirdi. Bunun üçün yuxarıda göstərilən analoji ədəd cədvəllərindən istifadə olunurdu və manipulyasiyalar yerinə yetirilirdi.

Hərçənd ki, loqarifmin təsviri üçün sadə davamlı kəsr mövcud deyil, amma bir neçə ümumiləşmiş davamlı kəsrdən istifadə etmək olar:

${\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\dots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}}$

${\displaystyle \log \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{\cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}}$