Faydalılıq funksiyası

Üstünlük münasibətinin ${\displaystyle \{\succeq \}}$ təyin olunduğu ${\displaystyle X}$ icazə verilən alternativlər toplusu verilsin. Sonra real qiymətli funksiya ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$ şərti olduqda faydalı funksiya adlanır[2]:

${\displaystyle x\succsim y\iff u(x)\geq u(y),\quad x,y\in X}$

Faydalı funksiyanın daha böyük dəyəri bu funksiyanın təmsil etdiyi üstünlük baxımından alternativin daha çox arzuolunanlığı deməkdir. Riyazi nöqteyi-nəzərdən faydalılıq funksiyası skalyar sıralama üsuludur.

Müasir iqtisadçılar ondan çıxış edirlər ki, faydalılıq anlayışı subyektivdir, ona görə də onların birbaşa müqayisəsi mümkün deyil. Buna görə də[3], Pareto səmərəliliyi konsepsiyası istehlakçıların birgə rifahını qiymətləndirmək üçün istifadə olunur. İstisna kvazi-xətti üstünlüklərdir. Onlar pulun analoqu olan sayıla bilən əmtəənin (ing. numeraire) mövcudluğunu güman edirlər. Sonra toplama və digər faydalı əməliyyatlar mümkün olur[2].

Üstünlüklərin faydalı funksiya kimi təqdim edilməsi üçün üstünlüklərin özünün rasional olması, yəni tamlıq və keçid aksiomalarına uyğun olması zəruridir.

Kifayət qədər şərtlər icazə verilən alternativlər dəsti ${\displaystyle X}$-ın özündən və üstünlük xassələrindən asılıdır. Əgər ${\displaystyle X}$ çoxluğu sonlu və ya hesablana biləndirsə və üstünlük əlaqəsi rasionaldırsa, o zaman həmin üstünlükləri təmsil edən faydalı funksiya var.

Əgər ${\displaystyle X}$ çoxluğu saysızdırsa, biz əlavə olaraq üstünlüklərin davamlılığını tələb etməliyik. Bu halda Debre teoremi faydalı funksiyanın mövcudluğuna zəmanət verir. Bu halda, faydalılıq funksiyası davamlıdır. Davamlılıq rasional üstünlük təşkil edən faydalı funksiyanın mövcudluğu üçün zəruri şərtdir, lakin bu kifayət deyil. Beləliklə, məsələn, ${\displaystyle u(x)=\lbrack x\rbrack ,\,x\in \mathbb {R} }$ (ədədin tam hissəsi) köməkçi funksiyası davamlı olmayan üstünlükləri təmsil edir. Funksiya özü də fasiləsizdir.

Çox vaxt müəyyən xüsusiyyətlərə malik funksiyaları əldə etmək üçün üstünlüklərə əlavə şərtlər qoyulur. Beləliklə, monotonluq, yerli doymamışlıq və qabarıqlıq tələb oluna bilər. Bu üstünlük xassələri kommunal funksiyanın xassələrində əks olunur. Məsələn, üstünlüklərin monotonluğu funksiyanın monotonluğuna gətirib çıxarır, üstünlüklərin qabarıqlığı isə funksiyanı kvazikonkav edir.

${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ciddi artan funksiya, ${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$ — isə köməkçi funksiya olsun. Onda ${\displaystyle g\circ u(x)}$ funksiya tərkibi də eyni üstünlük münasibətini ${\displaystyle \succsim }$ təmsil edən köməkçi funksiyadır. Qeyd edək ki, ${\displaystyle g}$ davamlı olmalıdır.