Hidroaeromexanika

Hidroaeromexanika — axıcı maddələrin (mayelərin, qazların və plazmaların) mexanikasını və onlara təsir edən qüvvələri öyrənən fizika sahəsi.[1] Onun mexaniki, mülki, kimyəvi və biotibbi mühəndislik, geofizika, okeanoqrafiya, meteorologiya, astrofizika və biologiya da daxil olmaqla geniş spektrdə tətbiqləri var.

Onu maye və qazların statikasına, yəni sükunətdə olan axıcıların öyrənilməsinə və onların dinamikasına, yəni qüvvələrin axıcıların hərəkətinə təsirinin öyrənilməsinə ayırmaq olar.[1] O maddənin atomlardan təşkil olunduğunu nəzərə almadan onu modelləşdirən bütöv mühit mexanikasının bir qoludur; yəni burada maddə mikroskopik yox, makroskopik baxımdan modelləşdirilir. Hidroaeromexanika, xüsusən də hidroaerodinamika tipik olaraq kompleks riyazi aktiv tədqiqat sahəsidir. Bir çox problemlər qismən və ya tamamilə həll edilməmişdir və ən yaxşı formada isə ədədi üsullarla, adətən, kompüterlərdən istifadə etməklə həll edilmişdir. Hesablamalı hidroaerodinamika adlanan müasir elm sahəsi bu yanaşmaya həsr edilmişdir.[2] Axınların vizuallaşdırılması və analizi üçün eksperimental üsul olan hissəciklərin sürətinin vizual ölçülməsi də axının yüksək vizual təbiətinə əsaslanır.

Qısa tarix

Hidroaeromexanikaya dair çalışmalar öz başlanğıcını ən azı Antik Yunanıstandan götürür. Bu dövrün ən sanballı çalışması Arximed tərəfindən maye və qazların statikasına və qaldırma qüvvəsinin tədqiqinə həsr olunmuş "Üzən Cisimlərə Dair" əsəridir. Hidroaeromexanikadakı böyük irəliləyişlər Leonardo da Vinçi (müşahidə və təcrübələr), Evangelista Toriçelli (barometrin icadı), İsaak Nyuton (özlülüyün tədqiqi), Blez Paskal (hidrostatikanın tədqiqi, Paskal qanunu) ilə başladı və Daniel Bernulli tərəfindən Hidrodinamika (1739) əsərində maye və qazların riyazi dinamikasının tanıdılması ilə davam etdi.

Sonralar qeyri-özlülüklü axının analizi müxtəlif riyaziyyatçılar (Jan Leron D'Alamber, Jozef Lui Laqranj, Pyer Simon Laplas, Simeon Denis Puasson) tərəfindən aparıldı, həmçinin Jan Lui Mari Puazeyl və Qotthilf Haqen də daxil olmaqla bir çox mühəndislər tərəfindən tədqiq edildi. Klod Luis Navye və Corc Qabriel Stoks tərəfindən əlavə riyazi əsaslandırma Navye-Stoks tənliklərilə verildi və sərhəd təbəqələri araşdırıldı (Lüdviq Prandtl, Teodor fon Karman), eyni zamanda Osborn Reynolds, Andrey Kolmoqorov və Qoffri İnqram Teylor kimi alimlər maye və qazların özlülük və turbulentlik anlayışlarını inkişaf etdirdi.

Başlıca qolları

Hidroaerostatika

Axıcıların statikası və ya hidrostatika hidroaeromexanikanın tarazlıqda olan mayeləri öyrənən bölməsidir. O, stabil tarazlıqdakı axıcıların sükunət şərtlərinin öyrənilməsini əhatə edir və hərəkətdə olan axıcıların öyrənilməsi ilə məşğul olan hidroaerodinamika ilə ziddiyyət təşkil edir. Hidrostatika gündəlik həyatdakı bir çox hadisələrin, məsələn, atmosfer təzyiqinin nə üçün hündürlüyə görə dəyişdiyinin, odunun və yağın suda niyə üzdüyünün, sükunət halındakı su səthinin niyə düz olduğunun fiziki izahını verir. Hidrostatika hidravlika, yəni mayelərin saxlanması, daşınması və istifadəsiylə məşğul olan qurğular mühəndisliyi üçün əsasdır. O, həmçinin geofizika və astrofizikanın bəzi aspektlərinə (məsələn, litosfer lövhələrinin tektonikasının və Yerin qravitasiya sahəsindəki anomaliyaların öyrənilməsində), meteorologiyaya, tibbə (qan təzyiqi kontekstində) və bir çox başqa sahələrə daxildir.

Hidroaerodinamika

Hidroaerodinamika hidroaeromexanikanın altsahəsidir—maye və qazların hərəkəti haqqında elmdir.[3] Hidroaerodinamika, axının ölçülməsindən alınan və praktik məsələləri həll etməyə yarayan empirik və yarı empirik qanunları əhatə edən—bu praktik fənlərin əsasında duran—sistematik bir struktur təqdim edir. Hidroaerodinamika məsələlərinin həllinə, adətən, sürət, təzyiq, sıxlıq və temperatur kimi müxtəlif xüsusiyyətlərin fəza və zamanın funksiyaları şəklində hesablanması daxildir. Bu elmin aerodinamika[4][5][6][7] (havanın və digər qazların hərəkətini öyrənir) və hidrodinamika[8][9] (mayelərin hərəkətini öyrənir) da daxil olmaqla bir çox alt sahəsi var. Hidroaerodinamika təyyarələrə təsir edən qüvvələrin və onların hərəkətlərinin hesablanması, boru kəmərləri vasitəsilə neftin kütləvi axınının təyin edilməsi, inkişaf edən hava nümunələrinin proqnozlaşdırılması, ulduzlararası fəzada dumanlıqların anlaşılması və partlayışların modelləşdirilməsi də daxil olmaqla çox müxtəlif tətbiq sahələrinə malikdir. Hidroaerodinamikanın bəzi prinsiplərindən nəqliyyat mühəndisliyində və xaos dinamikasında istifadə olunur.

Bütöv mühit mexanikasıyla əlaqəsi

Hidroaeromexanika, aşağıdakı cədvəldə göstərildiyi kimi, bütöv mühit mexanikasının alt sahələrindən biridir:

Bütöv mühit mexanikası Bütöv (kəsilməz) materialların fizikasını öyrənən elm	Bərk cisim mexanikası Müəyyən olunmuş dayanıqlı formaya malik bütöv materialların fizikasını öyrənən elm.	Elastiklik Tətbiq olunmuş gərginliklər götürüldükdən sonra materialın dayanıqlı vəziyyətinə qayıtmasını təsvir edir.
		Plastiklik Kifayət həddə qüvvə tətbiq edildikdə qalıq deformasiyaya uğrayan materialları təsvir edir.	Reologiya Bərk və maye xüsusiyyətinə malik materialları öyrənən elm .
	Hidromexanika Qüvvə tətbiq olunduqda formasını dəyişən bütöv materialların fizikasını öyrənən elm.	Qeyri-Nyuton mayeləri tətbiq olunmuş kəsici gərginliyə mütənasib olaraq nisbi deformasiya tezliyinə məruz qalmır.
		Nyuton mayeləri tətbiq olunmuş kəsici gərginliyə mütənasib olaraq nisbi deformasiya tezliyinə məruz qalır.

Mexanik görünüşə görə maye kəsmə gərginliyini dəstəkləməyən bir maddədir; buna görə də sükunət halında olan maye öz qabının formasına malikdir. Sükunət halındakı mayenin kəsmə gərginliyi yoxdur.

Fərziyyələr

Kontrol səthi ilə əhatə olunmuş kontrol həcmində bəzi inteqrasiya olunmuş maye miqdarı üçün balans.

Fiziki sistemin hidroaeromexaniki davranışına xas olan fərziyyələr riyazi tənliklərlə ifadə etmək olar. Prinsipcə, hər bir hidroaeromexaniki sistemin aşağıdakılara tabe olduğu fərz edilir:

Kütlənin saxlanması
Enerjinin saxlanması
İmpulsun saxlanması
Kəsilməzlik fərziyyəsi

Məsələn, kütlənin qorunub saxlanması fərziyyəsi o deməkdir ki, hər hansı sabit kontrol həcmi (məsələn, sferik həcm) üçün - kontrol səthiylə əhatə olunmuş - həmin həcmdə olan kütlənin dəyişmə sürəti kütlənin sürətinə bərabərdir. Kütlənin içəridən xaricə keçmə sürəti çıxılmaqla səthdən xaricdən içəriyə keçir. Bu, baxılan həcm üzrə inteqral formada tənlik kimi ifadə edilə bilər.[10]

Kəsilməzlik fərziyyəsi mayelərin mikroskopik miqyasda molekullardan ibarət olsalar belə, özlərini kəsilməz kimi apardığı bütöv mühit mexanikasının ideallaşdırılmasıdır. Kəsilməzlik fərziyyəsinə əsasən, sıxlıq, təzyiq, temperatur və kütlə sürəti kimi makroskopik (müşahidə olunan/ölçülə bilən) xassələrin “sonsuz kiçik” həcm elementlərində yaxşı müəyyən edilməsi qəbul edilir – sistemin xarakterik uzunluq şkalası ilə müqayisədə kiçik, lakin molekulyar uzunluq şkalası ilə müqayisədə böyükdür. Mayenin xassələri bir həcm elementindən digərinə davamlı olaraq dəyişə bilər və molekulyar xassələrin orta qiymətləridir. Kəsilməzlik fərziyyəsi səsdən sürətli axınlar və ya nanomiqyasda molekulyar axınlar kimi tətbiqlərdə qeyri-dəqiq nəticələrə gətirib çıxara bilər.[11] Kəsilməzlik fərziyyəsinin uğursuz olduğu problemlər statistik mexanikadan istifadə etməklə həll edilə bilər. Kəsilməzlik fərziyyəsinin tətbiq edilib-edilmədiyini müəyyən etmək üçün molekulyar orta sərbəst yolun xarakterik uzunluq ölçüsünə nisbəti kimi təyin olunan Knudsen ədədinin qiyməti hesablanır. 0.1-dən aşağı Knudsen ədədləri ilə bağlı problemlər kəsilməzlik hipotezindən istifadə etməklə qiymətləndirilə bilər, lakin daha böyük Knudsen ədədlərinə uyğun gələn mayenin hərəkətini tapmaq üçün molekulyar yanaşma (statistik mexanika) tətbiq oluna bilər.

Navye-Stoks tənlikləri

Navye-Stoks tənlikləri (Klod Luis Navye və Corc Qabriel Stoksun adını daşıyır) mayenin müəyyən nöqtəsində qüvvə balansını təsvir edən diferensial tənliklərdir. Vektori sürət sahəsi $\mathbf {u}$ olan sıxılmayan maye üçün Navye-Stoks tənlikləri aşağıdakı kimidir:[12][13][14][15]

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla P+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

Bu diferensial tənliklər Nyutonun hissəcikləri üçün hərəkət tənliklərinin deformasiya olunan materialların analoqlarıdır–Navye-Stoks tənlikləri burada $\nu$ kinematik özlülüyü ilə parametrləşdirilmiş $P$ təzyiqinə və özlülüyünə cavab olaraq impulsda (qüvvədə) dəyişiklikləri təsvir edir. Bəzən tənliklərə qravitasiya qüvvəsi və ya Lorens qüvvəsi kimi cisim qüvvələri də əlavə olunur.

Verilmiş fiziki problem üçün Navye-Stoks tənliklərinin həlli variasiya hesabının köməyi ilə axtarılmalıdır. Praktik baxımdan yalnız ən sadə halları məhz bu şəkildə həll etmək olar. Bu hallar ümumiyyətlə Reynolds ədədinin kiçik olduğu qeyri-turbulent, kəsilməz axını əhatə edir. Daha mürəkkəb hallar üçün, xüsusən qlobal hava sistemləri, aerodinamika, hidrodinamika və daha çox kimi turbulentliklə bağlı hallar üçün Navye-Stoks tənliklərinin həlli hazırda yalnız kompüterlərin köməyi ilə tapıla bilər. Elmin bu sahəsi hesablamalı hidroaerodinamika adlanır.[16][17][18][19][20]

Qeyri-özlülüklü və özlülüklü axıcılar

Qeyri-özlülüklü mayelərin özlülüyü sıfıra bərabərdir, $\nu =0$ . Praktikada özlülüksüz axın, riyazi əməliyyatları sadələşdirmək üçün istifadə olunan idellaşdırmadır. Əslində, sırf özlülüksüz axınların yalnız ifrataxıcılıq vəziyyətində gerçəkləşdiyi məlumdur. Əks təqdirdə, mayelər ümumiyyətlə özlüdür, bu xüsusiyyət bərk səthə yaxın olan sərhəd təbəqəsi yaxınlığında çox vaxt mühümdür,[21] burada axın bərk cismin sürüşməməsi vəziyyətinə uyğun olmalıdır. Bəzi hallarda, mayenin mexaniki sisteminin riyazi hesablamalarını sərhəd təbəqələrindən kənarda olan mayenin qeyri-sabit olduğunu qəbul edərək və sonra onun həllini nazik laminar sərhəd təbəqəsi üçün uyğunlaşdırmaqla yerinə yetirmək olar.

Məsaməli sərhəddən maye axını üçün mayenin sürəti sərbəst maye ilə məsaməli mühitdəki maye arasında fasiləsiz ola bilər (bu Beaver və Cozef vəziyyəti ilə bağlıdır). Bundan əlavə, aşağı səssiz sürətlərdə qazın sıxılmadığını düşünmək faydalıdır - yəni sürət və statik təzyiq dəyişsə də qazın sıxlığı dəyişmir.

Nyuton mayelərinə qarşı qeyri-Nyuton mayeləri

Nyuton mayesi (İsaak Nyutonun adını daşıyır) kəsmə gərginliyi kəsilmə müstəvisinə perpendikulyar istiqamətdə sürət qradiyenti ilə xətti mütənasib olan maye kimi müəyyən edilir. Bu tərif mayeyə təsir edən qüvvələrdən asılı olmayaraq onun axmağa davam etməsi deməkdir. Məsələn, su Nyuton mayesidir, çünki nə qədər qarışdırılsa da maye xüsusiyyətlərini göstərməyə davam edir. Bir az daha az ciddi bir tərif, mayenin içindən yavaş-yavaş hərəkət edən kiçik bir cismin sürüklənməsinin cismə tətbiq olunan qüvvə ilə mütənasib olmasıdır. (Sürtünmə ilə müqayisə edin). Su və qazların əksəriyyəti kimi mühüm mayelər Yerdə normal şəraitdə Nyuton mayesi kimi davranırlar.[10]

Bunun əksinə olaraq, qeyri-Nyuton mayesinin qarışdırılması arxada "çuxur" buraxa bilər. Bu, zamanla tədricən dolacaq - bu davranış pudinq, ooblek və ya qum kimi materiallarda görünür (baxmayaraq ki, qum ciddi şəkildə maye deyil). Alternativ olaraq, qeyri-Newtonian mayenin qarışdırılması özlülüyün azalmasına səbəb ola bilər, buna görə də maye "nazik" görünür (bu, damcı olmayan boyalarda görünür). Qeyri-Nyuton mayelərinin bir çox növləri var, çünki onlar müəyyən bir xüsusiyyətə tabe olmayan bir şey kimi müəyyən edilir - məsələn, uzun molekulyar zəncirləri olan mayelərin əksəriyyəti Nyutondan fərqli bir şəkildə reaksiya verə bilər.[10]

Nyuton mayesi üçün tənliklər

Özlülüklü gərginlik tenzoru ilə sürət qradiyenti arasındakı mütənasiblik sabiti özlülük adlanır. Sıxılmayan Nyuton mayesinin davranışını təsvir etmək üçün sadə bir tənlikdir.

$\tau =-\mu {dv \over dy}$

burada

$\tau$ axıcı tərəfindən tətbiq olunan kəsmə gərginliyi;

$\mu$ mütənasiblik əmsalı olub, maye və qazın özlülüyü adlanır;

${dv \over dy}$ isə sürüşmə istiqamətinə perpendikulyar olan sürət qradiyentidir.

Nyuton mayesi üçün özlülük, tərifə görə, ona təsir edən qüvvələrdən deyil, yalnız temperatur və təzyiqdən asılıdır. Maye sıxılmayandırsa, özlü gərginliyin əsas tənliyi (Dekart koordinatlarında) belə yazılar:

${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)=\mu \partial _{(i}v_{j)}}$

$\tau _{ij}$ $j$ -ci istiqamətdə maye və ya qaz elementinin $i$ -ci üzünün kəsilmə gərginliyi;

$v_{i}$ $i$ -ci istiqamətindəki sürət;

$x_{j}$ $j$ -ci istiqamətin koordinatıdır.

Maye sıxılmaz deyilsə, Nyuton mayesində özlü gərginliyin ümumi forması belədir

${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {2}{3}}\delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} \right)+\kappa \delta _{ij}\nabla \cdot \mathbf {v} }$

burada $\kappa$ ikinci özlülük əmsalıdır (və ya həcmi özlülükdür). Əgər maye bu əlaqəyə tabe olmursa, o, bir neçə növü olan qeyri-Nyuton mayesi adlanır. Qeyri-Nyuton mayeləri plastik, Binqham plastik, psevdoplastik, dilatant, tiksotrop, reopektik, viskoelastik ola bilər. Bəzi tətbiqlərdə mayelər arasında qaba şəkildə başqa bir geniş bölgü aparılır: ideal və qeyri-ideal axıcılar. İdeal maye özlü deyil və kəsmə qüvvəsinə heç bir müqavimət göstərmir. İdeal maye həqiqətən mövcud deyil, lakin bəzi hesablamalarda fərziyyə kimi əsaslandırılır. Buna misal olaraq bərk səthlərdən uzaq olan axını göstərmək olar. Bir çox hallarda, özlü təsirlər bərk sərhədlərin yaxınlığında cəmləşir (məsələn, sərhəd təbəqələrində), axın sahəsinin sərhədlərdən uzaq bölgələrində isə özlü təsirlərə laqeyd yanaşmaq və oradakı mayenin özlü olmadığını (ideal axın) qəbul etmək olar. Özlülük nəzərə alınmadıqda, Navye-Stoks tənliyində özlülüklü gərginlik tenzoru $\tau$ ehtiva edən hədd yox olur. Bu formada sadələşdirilən tənliyə Eyler tənliyi deyilir.

İstinadlar

White, Frank M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-352934-9.
Tu, Jiyuan; Yeoh, Guan Heng; Liu, Chaoqun (Nov 21, 2012). Computational Fluid Dynamics: A Practical Approach. ISBN 978-0080982434.
Batchelor, C. K., & Batchelor, G. K. (2000). An introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press.
Bertin, J. J., & Smith, M. L. (1998). Aerodynamics for engineers (Vol. 5). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.
Anderson Jr, J. D. (2010). Fundamentals of aerodynamics. Tata McGraw-Hill Education.
Houghton, E. L., & Carpenter, P. W. (2003). Aerodynamics for engineering students. Elsevier.
Milne-Thomson, L. M. (1973). Theoretical aerodynamics. Courier Corporation.
Milne-Thomson, L. M. (1996). Theoretical hydrodynamics. Courier Corporation.
Birkhoff, G. (2015). Hydrodynamics. Princeton University Press.
Batchelor, George K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. p. 74. ISBN 0-521-66396-2.
Greenkorn, Robert (3 October 2018). Momentum, Heat, and Mass Transfer Fundamentals Arxivləşdirilib 2022-04-20 at the Wayback Machine. CRC Press. p. 18. ISBN 978-1-4822-9297-8.
Constantin, P., & Foias, C. (1988). Navier-stokes equations. University of Chicago Press.
Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis (Vol. 343). American Mathematical Society.
Foias, C., Manley, O., Rosa, R., & Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations and turbulence (Vol. 83). Cambridge University Press.
Girault, V., & Raviart, P. A. (2012). Finite element methods for Navier-Stokes equations: theory and algorithms (Vol. 5). Springer Science & Business Media.
Anderson, J. D., & Wendt, J. (1995). Computational fluid dynamics (Vol. 206). New York: McGraw-Hill.
Chung, T. J. (2010). Computational fluid dynamics. Cambridge University Press.
Blazek, J. (2015). Computational fluid dynamics: principles and applications. Butterworth-Heinemann.
Wesseling, P. (2009). Principles of computational fluid dynamics (Vol. 29). Springer Science & Business Media.
Anderson, D., Tannehill, J. C., & Pletcher, R. H. (2016). Computational fluid mechanics and heat transfer. Taylor & Francis.
Kundu, Pijush K.; Cohen, Ira M.; Dowling, David R. (27 March 2015). "10". Fluid Mechanics (6th ed.). Academic Press. ISBN 978-0124059351.

Əlavə oxu üçün

Falkovich, Gregory (2011), Fluid Mechanics (A short course for physicists), Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511794353, ISBN 978-1-107-00575-4
Kundu, Pijush K.; Cohen, Ira M. (2008), Fluid Mechanics (4th revised ed.), Academic Press, ISBN 978-0-12-373735-9
Currie, I. G. (1974), Fundamental Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, Inc., ISBN 0-07-015000-1
Massey, B.; Ward-Smith, J. (2005), Mechanics of Fluids (8th ed.), Taylor & Francis, ISBN 978-0-415-36206-1
Nazarenko, Sergey (2014), Fluid Dynamics via Examples and Solutions, CRC Press (Taylor & Francis group), ISBN 978-1-43-988882-7

Xarici keçidlər

Free Fluid Mechanics books
Annual Review of Fluid Mechanics
CFDWiki – Hesablamalı Hidroaerodinamika üçün vikiistinad.
Educational Particle Image Velocimetry – resources and demonstrations

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[:0-1] White, Frank M. (2011). Fluid Mechanics (7th ed.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-352934-9.

[2] Tu, Jiyuan; Yeoh, Guan Heng; Liu, Chaoqun (Nov 21, 2012). Computational Fluid Dynamics: A Practical Approach. ISBN 978-0080982434.

[3] Batchelor, C. K., & Batchelor, G. K. (2000). An introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press.

[4] Bertin, J. J., & Smith, M. L. (1998). Aerodynamics for engineers (Vol. 5). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.

[5] Anderson Jr, J. D. (2010). Fundamentals of aerodynamics. Tata McGraw-Hill Education.

[6] Houghton, E. L., & Carpenter, P. W. (2003). Aerodynamics for engineering students. Elsevier.

[7] Milne-Thomson, L. M. (1973). Theoretical aerodynamics. Courier Corporation.

[8] Milne-Thomson, L. M. (1996). Theoretical hydrodynamics. Courier Corporation.

[9] Birkhoff, G. (2015). Hydrodynamics. Princeton University Press.

[:1-10] Batchelor, George K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. p. 74. ISBN 0-521-66396-2.

[11] Greenkorn, Robert (3 October 2018). Momentum, Heat, and Mass Transfer Fundamentals Arxivləşdirilib 2022-04-20 at the Wayback Machine. CRC Press. p. 18. ISBN 978-1-4822-9297-8.

[12] Constantin, P., & Foias, C. (1988). Navier-stokes equations. University of Chicago Press.

[13] Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations: theory and numerical analysis (Vol. 343). American Mathematical Society.

[14] Foias, C., Manley, O., Rosa, R., & Temam, R. (2001). Navier-Stokes equations and turbulence (Vol. 83). Cambridge University Press.

[15] Girault, V., & Raviart, P. A. (2012). Finite element methods for Navier-Stokes equations: theory and algorithms (Vol. 5). Springer Science & Business Media.

[16] Anderson, J. D., & Wendt, J. (1995). Computational fluid dynamics (Vol. 206). New York: McGraw-Hill.

[17] Chung, T. J. (2010). Computational fluid dynamics. Cambridge University Press.

[18] Blazek, J. (2015). Computational fluid dynamics: principles and applications. Butterworth-Heinemann.

[19] Wesseling, P. (2009). Principles of computational fluid dynamics (Vol. 29). Springer Science & Business Media.

[20] Anderson, D., Tannehill, J. C., & Pletcher, R. H. (2016). Computational fluid mechanics and heat transfer. Taylor & Francis.

[21] Kundu, Pijush K.; Cohen, Ira M.; Dowling, David R. (27 March 2015). "10". Fluid Mechanics (6th ed.). Academic Press. ISBN 978-0124059351.