İkiqat inteqral

İkiqat inteqral bir dəyişənli inteqralla eyni xassələrə malikdir.  (xəttilik, yerdəyişmə, monotonluq və s.). İkiqat inteqralın əsas vacib özəlliyi onun qiymətinin müəyyən şərt daxilindəki inteqralların quruluşundan aslı olmasıdır. Bu özəllik Fubin teoremi adlanır.

 T ⊆ R2, halında, inteqral

${\displaystyle l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

f funksiyasının  T üzərində ikiqat inteqralı, və  if T ⊆ R³ halında inteqral

${\displaystyle l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

f funksiyasının T üzərində üçqat inteqralı adlanır.

İnteqral c sabit funksiyası olarsa,  inteqral c  ilə domenin ölşüsünün hasilinə bərabərdir.Əgər c = 1 və domen  R²`nin alt sahəsi olarsa, inteqral həmin hissənin sahəsinəf R<sup>3</sup>`ün alt sahəsi olarsa,həcminə bərabər olar

Nümunə. f(x, y) = 2 və

${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\$ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}}

o halda ki,

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot {\mbox{area}}(D)=(2\cdot 3)\cdot 2=12}$,

tərifdən alırıq ki,

${\displaystyle \int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy={\mbox{area}}(D).}$

Əgər D domeni x-oxuna nəzərən normaldırsa və f : D → R kəsilməz funksiyadırsa  o zaman  α(x) və β(x) ( [a, b] intervalında təyin olunmuş)  D domenini müəyyənləşdirən iki funksiyadır. Onda:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy.}$

Əgər D domeni y-oxuna nəzərən normaldırsa və f : D → R əsilməz funksiyadırsa o zaman α(y) və β(y) ( [a, b]intervalında təyin olunmuş)  D domenini müəyyənləşdirən iki funksiyadır. Onda:

${\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx.}$

${\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\$ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,}

İkiqat inteqral

${\displaystyle \int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy}$

x`dən aslı olan daxili inteqral birinci hesablanır və y sabit kimi qəbul olunur. Və sonda isə nəticə integral y`ə görə inteqrallanır.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}}$

Və nəticəni y`ə görə inteqrallayırıq:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}}$

Nəzərə almaq lazımdır ki, inteqrallama sırası dəyişə bilər;

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719\end{aligned}}}$

Yuxarıdakı metodları istifadə etməklə müxtəlif cisimlərin həcmini hesablaya bilərik.

• Silindr: Oturacağı R radiuslu çevrə olan h hündürlüyə sahib silindrin həcm  düsturu:

${\displaystyle \mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h}$

Bu həmçinin prizmanın həcm düsturuna da uyğundur

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}}$.

• Sfera: R radiuslu sferanın həcmi sferik kordinatların köməyi ilə hesablana bilər:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}$

• Tetraedr . Tetraedrin həcm düsturu:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}\,dy\int _{0}^{l-x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{l}dx\int _{0}^{l-x}(l-x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{l}\left(l^{2}-2lx+x^{2}-{\frac {(l-x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=l^{3}-ll^{2}+{\frac {l^{3}}{3}}-\left[{\frac {l^{2}x}{2}}-{\frac {lx^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{l}\\&={\frac {l^{3}}{3}}-{\frac {l^{3}}{6}}={\frac {l^{3}}{6}}\end{aligned}}}$

Bu həmçinin piramidanın həcm düsturuna uyğundur

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {l^{2}}{2}}\times l={\frac {l^{3}}{6}}.}$