En xeometría diferencial, la xeometría de Riemann ye l'estudiu de les variedaes diferenciales con métriques de Riemann; ye dicir d'una aplicación qu'a cada puntu de la variedá, asígna-y una forma cuadrática definida positiva na so espacio tangente, aplicación que varia selemente d'un puntu a otru. Esto da idees locales de (ente otres magnitúes) ángulu, llargor de curves, y volume. A partir d'éstes, pueden llograse otres magnitúes por integración de les magnitúes locales.

Foi propuesta per primer vegada de forma xeneral por Bernhard Riemann nel sieglu XIX. Como casos especiales particulares apaecen los dos tipos convencionales (xeometría elíptica y xeometría hiperbólica) de xeometría Non-Euclidiana, según la xeometría euclidiana mesma. Toes estes xeometríes traten sobre la mesma base, al igual qu'una amplia gama de les xeometríes con propiedaes métriques que varien de puntu a puntu.

Cualquier variedá diferenciable almite una métrica de Riemann y esta estructura adicional ayuda de cutiu a solucionar problemes de topoloxía diferencial. Tamién sirve como un nivel d'entrada pa la estructura más complicada de les variedaes pseudo-Riemann, que (nel casu particular de tener dimensión 4) son los oxetos principales de la teoría de la relatividá xeneral.

Nun hai introducción fácil a la xeometría de Riemann. Los artículos siguientes pueden sirvir como introducción:

  1. Tensor métricu
  2. Variedá de Riemann
  3. Conexón de Levi-Civita
  4. Combadura
  5. Tensor de combadura.

Teoremas clásicos na xeometría de Riemann

Lo que sigue ye una llista nun completa de los teoremas más clásicos de la xeometría de Riemann. La eleición faise dependiendo de la so guapura, de la importancia y simplicidá de la formulación.

Teoremas xenerales

  1. Teorema de Gauss-Bonnet La integral de la combadura de Gauss nuna variedá de Riemann compacta de 2 dimensiones ye igual a , equí denota la carauterística de Euler de M.
  2. Teorema d'inmersión de Nash tamién llamáu Teorema Fundamental de la xeometría de Riemann. Indiquen que cada variedá de Riemann pue ser isométricamente somorguiada nun espaciu euclidianu Rn.

Ver tamién

  • Glosariu de la xeometría de Riemann

Referencies

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