Les unidaes de Planck o unidaes naturales son un sistema d'unidaes propuestu per primer vegada en 1899 por Max Planck. El sistema mide delles de les magnitúes fundamentales del universu: tiempu, llargor, masa, carga llétrica y temperatura. El sistema defínese faciendo que los cinco constantes físiques universales de la tabla tomen el valor 1 cuando s'espresen ecuaciones y cálculos en dichu sistema.

Tabla 1: Constantes físiques fundamentales

Constante	Símbolu	Dimensiones
Velocidá de la lluz nel vacíu	${\displaystyle {c}\ }$	L / T
Constante de gravitación universal	${\displaystyle {G}\ }$	L³/T²M
Constante amenorgada de Planck	${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$ onde ${\displaystyle {h}\ }$ ye la constante de Planck	ML²/T
Constante de fuercia de Coulomb	${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$ onde ${\displaystyle {\epsilon _{0}}\ }$ ye la permitividad nel vacíu | M L³/ Q2 T²
Constante de Boltzmann	${\displaystyle {k}\ }$	M L²/T²K

L'usu d'esti sistema d'unidaes trai consigo delles ventayes. La primera y más obvia ye que simplifica enforma la estructura de les ecuaciones físiques porque esanicia les constantes de proporcionalidad y fai que los resultaos de les ecuaciones nun dependan del valor de les constantes.

Per otra parte, pueden comparase muncho más fácilmente les magnitúes de distintes unidaes. Por casu, dos protones refúguense porque la repulsión electromagnética ye muncho más fuerte que l'atracción gravitatoria ente ellos. Esto puédese comprobar al ver que los protones tienen una carga aproximao igual a una unidá natural de carga, pero la so masa ye enforma menor que la unidá natural de masa.

Tamién dexa evitar bastantes problemes d'arredondio, sobremanera en computación. Sicasí, tienen l'inconveniente de que al usales ye más difícil decatase de los errores nel analís dimensional. Son populares nel área d'investigación de la relatividá xeneral y la gravedá cuántica.

Les unidaes Planck suelen llamase de forma graciosa polos físicos como les "unidaes de Dios", porque esanicia cualquier arbitrariedá antropocéntrico del sistema d'unidaes.

Espresión de lleis físiques n'unidaes Planck

• Llei de la gravitación universal de Newton

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$

convertir en

${\displaystyle F={\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$ utilizando unidaes Planck.

• Ecuación de Schrödinger

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$

convertir en

${\displaystyle -{\frac {1}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)}$

• La enerxía d'una partícula o fotón con frecuencia radial ${\displaystyle {\omega }\ }$ na so función d'onda

${\displaystyle {Y=\hbar \omega }\ }$

convertir en

${\displaystyle {Y=\omega }\ }$

• La famosa ecuación de masa-enerxía d'Einstein

${\displaystyle {Y=mc^{2}}\ }$

convertir en

${\displaystyle {Y=m}\ }$

(por casu, un cuerpu con una masa de 5.000 unidaes Planck de masa tien una enerxía intrínseca de 5.000 unidaes Planck d'enerxía) y la so forma completa

${\displaystyle {Y^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}\ }$

convertir en

${\displaystyle {Y^{2}=m^{2}+p^{2}}\ }$

• ecuación de campu d'Einstein de la relatividá xeneral

${\displaystyle {G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}\ }$

convertir en

${\displaystyle {G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }}\ }$

• La unidá de temperatura defínese por que'l permediu d'enerxía térmica cinética por partícula por grau de llibertá de movimientu

${\displaystyle {Y={\frac {1}{2}}kT}\ }$

convertir en

${\displaystyle {Y={\frac {1}{2}}T}\ }$

• Llei de Coulomb

${\displaystyle F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$

convertir en

${\displaystyle F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}}$ .

• Ecuaciones de Maxwell

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {Y} ={\frac {1}{\epsilon _{0}}}\rho }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {Y} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial t}}}$

conviértense respeutivamente en

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {Y} =4\pi \rho }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {Y} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {Y} }{\partial t}}}$

utilizando les unidaes Planck. (Los factores ${\displaystyle 4\pi \ }$ pueden esaniciase si ${\displaystyle \epsilon _{0}\ }$ normalizárase, en cuenta de la constante de fuercia de Coulomb ${\displaystyle 1/(4\pi \epsilon _{0})\ }$.)

Unidaes de Planck básiques

Al dar valor 1 a los cinco constantes fundamentales, les unidaes de tiempu, llargor, masa, carga y temperatura defínense asina:

Tabla 2: Unidaes de Planck básiques

Nome	Dimensión	Espresión	Equivalencia averada nel Sistema Internacional
Llargor de Planck	Llargor (L)	${\displaystyle l_{P}=c\ t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}}$	1.616 252(81) × 10−35 m [[1]]
Masa de Planck	Masa (M)	${\displaystyle m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}}$	2.176 44(11) × 10−8 kg (21 ${\displaystyle \mu }$g) [[2]]
Tiempu de Planck	Tiempu (T)	${\displaystyle t_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}}$	5.391 24(27) × 10−44 s [[3]]
Carga de Planck	Carga llétrica (Q)	${\displaystyle q_{P}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}}$	1.875 545 870(47) × 10−18 C
Temperatura de Planck	Temperatura (ML²T-2/k)	${\displaystyle T_{P}={\frac {m_{P}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}}$	1.416 785(71) × 1032 K [[4]]

Unidaes de Planck derivaes

Como n'otros sistemes d'unidaes, les magnitúes físiques derivaes pueden definise basándose nes unidaes de Planck.

Nome	Dimensión	Espresión	Equivalencia averada nel Sistema Internacional
Enerxía de Planck	Enerxía (ML²/T²)	${\displaystyle Y_{P}=m_{P}c^{2}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}}$	1.9561 × 10⁹ J
Fuercia de Planck	Fuercia (ML/T²)	${\displaystyle F_{P}={\frac {Y_{P}}{l_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}}$	1.21027 × 1044 N
Potencia de Planck	Potencia (ML²/T³)	${\displaystyle P_{P}={\frac {Y_{P}}{t_{P}}}={\frac {c^{5}}{G}}}$	3.62831 × 1052 W
Densidá de Planck	Densidá (M/L³)	${\displaystyle \rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}}$	5.15500 × 1096 kg/m³
Velocidá angular de Planck	Velocidá angular (1/T)	${\displaystyle \omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}}$	1.85487 × 1043 rad/s
Presión de Planck	Presión (M/LT²)	${\displaystyle p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}}$	4.63309 × 10113 Pa
Intensidá llétrica de Planck	Intensidá llétrica (Q/T)	${\displaystyle I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}}$	3.4789 × 1025 A
Tensión llétrico de Planck	Tensión llétrico (ML²/T²Q)	${\displaystyle V_{P}={\frac {Y_{P}}{q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}}$	1.04295 × 1027 V
Resistencia llétrica de Planck	Resistencia (ML²/T Q²)	${\displaystyle Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}}$	2.99792458 × 10¹ Ω

Ver tamién

• Analís dimensional
• Constante física
• Unidaes atómiques

Referencies