Triángulu de velocidaes

Nel llinguaxe de les turbomáquinas falar de triángulu de velocidaes pa referise al triángulu formáu por trés vectores los cualos son:

Triángulu de velocidaes.

• La velocidá absoluta del fluyíu ${\displaystyle {\vec {c}}}$
• La velocidá relativa del fluyíu respectu al rotor ${\displaystyle {\vec {w}}}$
• La velocidá llinial del rotor ${\displaystyle {\vec {o}}}$

Estos trés vectores formen un triángulu una y bones la suma ${\displaystyle {\vec {w}}+{\vec {o}}}$ nun mesmu puntu ye igual a ${\displaystyle {\vec {c}}}$ nesi puntu por lleis del movimientu relativu de la mecánica clásica (tresformamientu de Galileo o composición de velocidaes).

L'ángulu ente los vectores ${\displaystyle {\vec {c}}}$ y ${\displaystyle {\vec {o}}}$ ye denotado ${\displaystyle \alpha }$ y l'ángulu ente los vectores ${\displaystyle {\vec {w}}}$ y ${\displaystyle {\vec {o}}}$ ye denotado ${\displaystyle \beta }$. Esta nomenclatura va ser utilizada al traviés de too esti artículu y ye norma DIN 1331.

Acordies con el sentíu del fluxu d'enerxía

• Motores: la enerxía ye apurrida pol fluyíu a la máquina, y esta entrega trabayo mecánicu. La mayoría de les turbomáquinas motores son llamaes "turbines", pero dientro d'esti xéneru tamién entren los molinos de vientu. Darréu la enerxía mecánica pue ser tresformada n'otru tipu d'enerxía, como la enerxía llétrica nel casu de les turbinas llétriques.
• Xeneradores: la enerxía ye apurrida pola máquina al fluyíu, y el trabayu llograr d'este. Nesti xéneru entren les bombes, sopladores, turbocompresores, ventiladores, y otros.

Acordies cola forma que presenta'l fluyíu proyeutáu al traviés del rotor

Turbina Pelton, ésta ye una turbomáquina tresversal d'almisión parcial.

• Radial: Si la trayeutoria que sigue'l fluyíu ye principalmente perpendicular a la exa de rotación (centrífugues o centrípetes según la direición de movimientu).
• Axial: Cuando la trayeutoria del fluyíu ye fundamentalmente paralelu a la exa de rotación.
• Diagonal: Fluxu diagonal a la exa de rotación.

Acordies con el tipu de fluyíu que remanen

• Térmiques: Cuando'l cambéu na densidá del fluyíu ye significativu dientro de la máquina, como en compresores.
• Hidráuliques: Cuando'l cambéu na densidá del fluyíu nun ye significativu dientro de la máquina, como en bombes o ventiladores.

Acordies con el cambéu de presión nel rotor

• Aición: nun esiste un cambéu de presión nel pasu del fluyíu pol rotor.
• Reacción: esiste un cambéu de presión nel pasu del fluyíu pol rotor.

Acordies con el tipu d'almisión

• Total: tol rotor ye tocáu pol fluyíu de trabayu.
• Parcial: non tol rotor ye tocáu pol fluyíu de trabayu.

Partes rotatives

Partes estátiques

Al conxuntu de toles partes estátiques de la turbomáquina (y n'otres máquines tamién) suélse-y denominar estator.

Turbomáquinas Xeneradores

Turbomáquinas axiales

Cinemática d'una turbomáquina radial xeneradora.

• Caltenimientu de la cantidá de movimientu llinial:

Les fuercies qu'actúen sobre'l volume de control son debíes a les presiones na entrada y na salida del rotor, si éstes considérense iguales en tola salida ya iguales en tola entrada, entós les fuercies lliniales queden anulaes por cuestión de simetría.

• Caltenimientu de la cantidá de movimientu angular:

Nesti casu define la propiedá estensiva momentu angular como ${\displaystyle {\vec {H}}=\int ({\vec {r}}\times {\vec {c}})dm}$, y la so análoga propiedá intensiva va ser ${\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {c}}}$, onde ${\displaystyle {\vec {c}}}$ ye'l campu vectorial de velocidaes y ${\displaystyle {\vec {r}}}$ un radiu vector dende la referencia hasta cada diferencial de masa ${\displaystyle dm}$.

La ecuación de tresporte de reynolds rellaciona'l cambéu pel momento angular nel tiempu, que por lleis de la mecánica ye igual a la suma de momento aplicaos, cola so análoga propiedá intensiva que definimos enriba de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {H}}}{dt}}=\Sigma {\vec {M}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \rho ({\vec {r}}\times {\vec {c}})dV+\int \rho ({\vec {r}}\times {\vec {c}}){\vec {c}}d{\hat {s}}}$

Como se supón que la situación ye de fluxu estable, nengún términu depende del tiempu, polo cual el primer sumando del llau derechu de la ecuación fai cero. El siguiente sumando ye una integral que s'evalúa en tola superficie de control y va suponese que'l rotor ye d'una turbomáquina xeneradora:

${\displaystyle \int \rho ({\vec {r}}\times {\vec {c}}){\vec {c}}d{\hat {s}}=-\int \rho _{1}({\vec {r_{1}}}\times {\vec {c_{1}}}){\vec {c_{1}}}d{\hat {s_{1}}}+\int \rho _{2}({\vec {r_{2}}}\times {\vec {c_{2}}}){\vec {c_{2}}}d{\hat {s_{2}}}}$

el vector ${\displaystyle {\vec {c}}}$ puede escribise en coordenaes cilíndriques como ${\displaystyle c\sin \alpha {\hat {r}}+c\cos \alpha {\hat {\theta }}}$ lo que dexa llegar a la siguiente espresión:

${\displaystyle \Sigma {\vec {M}}=-\int \rho _{1}r_{1}c_{1}\cos(\alpha _{1})c_{1}\sin(\alpha _{1})r_{1}d\theta dz{\hat {r}}+\int \rho _{2}r_{2}c_{2}\cos(\alpha _{2})c_{2}\sin(\alpha _{2})r_{2}d\theta dz{\hat {r}}}$

Polos camientos anteriores puede considerase a la velocidá ${\displaystyle {\vec {c}}}$ independiente de ${\displaystyle \theta }$ y de ${\displaystyle z}$ yá que toles llinies de corriente son iguales; esto dexa evaluar estes integrales asina:

${\displaystyle \Sigma {\vec {M}}=-2\pi r_{1}b\rho _{1}c_{1}\sin(\alpha _{1})r_{1}\cos(\alpha _{1}){\hat {r}}+2\pi r_{2}b\rho _{2}c_{2}\sin(\alpha _{2})r_{2}\cos(\alpha _{2}){\hat {r}}}$

Onde ${\displaystyle b}$ ye'l gruesu del rotor. Como'l réxime ye estable cumplir que la mesma masa qu'entra sale, ye dicir ${\displaystyle {\dot {m_{1}}}={\dot {m_{2}}}=\int \rho {\vec {c}}d{\hat {A}}}$. Esta integral representa'l productu de la densidá del fluyíu pel área na qu'evaluamos la integral pola componente de la velocidá normal a esta área, polo tanto si ${\displaystyle {\dot {m}}}$ ye'l fluxu másico que circula al traviés del rotor puede escribise:

${\displaystyle {\vec {M}}={\dot {m}}[c_{2}r_{2}\cos(\alpha _{2})-c_{1}r_{1}\cos(\alpha _{1})]}$

Onde ${\displaystyle {\vec {M}}}$ ye la totalidá de los momentos aplicaos sobre'l volume de control, y resumir nel torque aplicáu pol rotor pa caltener el fluxu de fluyíu. Pa llograr datos enerxéticos en cuenta de mecánicos recurrimos a la definición de potencia ${\displaystyle N=M\omega }$, onde ${\displaystyle \omega }$ ye la velocidá angular y podemos reescribir l'anterior rellación mecánica como una rellación enerxética:

${\displaystyle N={\dot {m}}[o_{2}c_{2}\cos(\alpha _{2})-o_{1}c_{1}\cos(\alpha _{1})]}$

Esta ecuación ye conocida como la ecuación xeneral de les turbomáquinas y foi topada por Euler en 1754.

Turbomáquinas axiales (T.M.A.)

Na formulación euleriana de les turbomáquinas axiales supónse, amás de les simplificaciones teóriques declaraes más arriba, que l'altor de les palas ye bien pequeña en rellación al diámetru del rotor. Esti camientu implica necesariamente que la diferencia de la velocidá periférica a lo llargo de les palas ye bien pequeña, asina vamos faer un analís del intercambiu de cantidá de movimientu d'una proyeición cilíndrica imponiendo que la velocidá periférica ye la mesma a lo llargo de cada unu de los álabes.

Triángulos de velocidaes.

En cuenta de utilizar la ecuación de tresporte de Reynolds, que sería dafechu válida y concluyiría esautamente lo mesmo, vamos faer un analís de fuercies más senciellu pa dar otra perspeutiva al llector. A efeutos del intercambiu d'enerxía col rotor, el cambéu de cantidá de movimientu en direición de ${\displaystyle {\vec {o_{1}}}={\vec {o_{1}}}={\vec {o_{2}}}={\vec {o_{2}}}={\vec {o}}}$ ye'l que determinen la fuercia tanxencial(${\displaystyle F_{tan}}$) sobre la periferia del rotor (vease figura amiesta), esto ye:

${\displaystyle F_{tan}={\dot {m}}(\vert {\vec {c_{2}}}\vert cos(\alpha _{2})-\vert {\vec {c_{1}}}\vert cos(\alpha _{1}))}$

Pa determinar la potencia suministrada pola máquina al fluyíu (recuérdese que tamos falando de turbomáquinas motores), multiplicamos a entrambos llaos pel radiu del rotor${\displaystyle r}$ y pola velocidá angular del mesmu ${\displaystyle \omega }$, d'esta forma, nel llau derechu de la igualdá anterior va tenese la velocidá periférica:

${\displaystyle N={\dot {m}}o(c_{2}cos(\alpha _{2})-c_{1}cos(\alpha _{1}))}$

Turbomáquinas Motores

El desenvolvimientu fechu enriba pa determinar la tresferencia d'enerxía foi fechu, como yá diximos, pa turbomáquinas xeneradores, esto ye, la enerxía del fluyíu de trabayu aumenta depués de pasar pol rotor de la turbomáquina. Pal casu de turbomáquinas motores, nes cualos el fluyíu de trabayu vénce-y enerxía a la máquina éstes ecuaciones siguen siendo válides, pero'l signu de la potencia va ser negativu. Pa evitar esto, ye costume nel estudiu y práutica de les turbomáquinas camudar el signu de la ecuación invirtiendo los términos alxebraicos de llau derechu de la igualdá de Euler:

• Turbomáquinas motores radiales:

${\displaystyle N={\dot {m}}[o_{1}c_{1}\cos(\alpha _{1})-o_{2}c_{2}\cos(\alpha _{2})]}$

• Turbomáquinas motores axiales:

${\displaystyle N={\dot {m}}o[c_{1}cos(\alpha _{1})-c_{2}cos(\alpha _{2})]}$

Sía que non, pa turbomáquinas motores y xeneradores, puede reparase que la ecuación pa les turbomáquinas radiales ye dafechu xeneral.

Consecuencies de la ecuación xeneral de les turbomáquinas

D'esta ecuación fundamental esprender munches interpretaciones del fenómenu d'intercambiu enerxéticu que se desenvuelve nel rotor, que hemos evidenciado tar determináu pola cinemática del fluyíu nel rodete. D'equí p'arriba, nesti parágrafu vamos referinos a turbomáquinas xeneradores y dexamos al llector la extrapolación de los conceutos a les turbomáquinas motores.

De primeres, el conceutu de triángulu de velocidaes enunciáu más arriba, dexa reescribir la ecuación de Euler:

${\displaystyle L=[o_{2}c_{2}\cos(\alpha _{2})-o_{1}c_{1}\cos(\alpha _{1})]}$

Onde ${\displaystyle L}$ conozse como llabor o trabayu por unidá de masa que pasa al fluyíu, tamién conocíu como trabayu específicu. Depués, si aplicamos el teorema del cosenu al triangulo de velocidaes vamos llograr la siguiente espresión.

${\displaystyle w^{2}=c^{2}+o^{2}-2co\cdot cos(\alpha )}$

${\displaystyle co\cdot cos(\alpha )={\frac {c^{2}}{2}}+{\frac {o^{2}}{2}}-{\frac {w^{2}}{2}}}$

Si sustituyimos na ecuación xeneral vamos llograr una espresión del trabayu específicu namái en función de los cambeos de velocidaes al cuadráu, ye dicir formes d'enerxía cinética:

${\displaystyle L={\frac {{c_{2}}^{2}-{c_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {{o_{2}}^{2}-{o_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {{w_{1}}^{2}-{w_{2}}^{2}}{2}}}$

Turborreactor Rolls Royce, onde puede reparase l'almisión d'aire a la izquierda y el fluyíu que sale pelos estremos del rotor escontra la cámara de combustión.

De los trés términos d'esta ecuación, el primeru ye conocíu como componente dinámicu, y ye el cambéu d'enerxía cinética específica sufiertu pol fluyíu nel rotor. Los otros dos términos restantes reciben el nome de componente estáticu, y p'atopar el so significáu precísase recurrir a un balance ente la enerxía del fluyíu y el trabayu apurríu pol rotor:

${\displaystyle \overbrace {h_{2}-h_{1}} ^{\mbox{cambéu de entalpía}}+\underbrace {{\frac {{c_{2}}^{2}}{2}}-{\frac {{c_{1}}^{2}}{2}}} _{\mbox{cambéu d'enerxía cinética}}=\overbrace {\frac {{c_{2}}^{2}-{c_{1}}^{2}}{2}} ^{\mbox{componente dinamica}}+\underbrace {{\frac {{o_{2}}^{2}-{o_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {{w_{1}}^{2}-{w_{2}}^{2}}{2}}} _{\mbox{componente estática}}}$

Nel cambéu d'enerxía del fluyíu nun apaez la enerxía potencial gravitatoria: efeutivamente, los cambeos de cota nel rodete son ínfimos en comparanza colos demás cambeos enerxéticos, polo cual esti términu despréciase. Amás, esta ecuación ye independiente del tipu de fluyíu que pasa pola turbomáquina, si ésti fora incompresible el cambéu entálpico sería igual al cambéu de presión namái

La espresión anterior revela, que la componente estática de la enerxía suministrada al fluyíu pola turbomáquina, ye equivalente al cambéu entálpico del fluyíu nel so pasu pol rotor, y esti cambéu entálpico ye proporcional a un cambéu de presión. Esto ye, esisten dos formes fundamentales en qu'una turbomáquina puede apurrir enerxía a un fluyíu, en forma d'enerxía cinética y en forma de presión. Ye perimportante notar que tou cambéu de presión implica un cambéu de entalpía.

${\displaystyle L=\overbrace {\frac {{c_{2}}^{2}-{c_{1}}^{2}}{2}} ^{\mbox{cambéu d'enerxía cinética}}+\underbrace {{\frac {{o_{2}}^{2}-{o_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {{w_{1}}^{2}-{w_{2}}^{2}}{2}}} _{\mbox{cambéu de presion}}}$

Considerancies posteriores sobre esta fórmula refundien pistes sobre qué forma tien de tener la corriente de fluyíu nel rotor pa maximizar el trabayu euleriano que s'apurre al fluyíu, y una obvia ye embrivir tolos términos que tengan un signu menos. Ello ye que casi toles turbomáquinas xeneradores radiales son centrífugues y toles turbomáquinas motores radiales son centrípetes, asina la velocidá periférica d'entrada y salida embrívese correspondientemente.

Grau de reacción

La idea de que la tresferencia d'enerxía ente'l fluyíu y el rodete realizar so forma d'enerxía cinética y de enerxía de fluxu (el términu ${\displaystyle pv}$, o tamién el cambéu de presión, lo qu'implica un cambéu de entalpía) lleva a la definición de grau de reacción, que ye la fracción d'enerxía total apurrida al fluyíu que ye dada en forma de presión:

${\displaystyle R={\frac {\mbox{enerxía apurrida en forma de presión}}{\mbox{enerxía total apurrida}}}}$

La magnitú física presión (fuercia per unidá d'área) nun tien un significáu enerxéticu direutu, sicasí ésta ta íntimamente amestada a la entalpía, que si tien un pergrande significáu enerxéticu. Por esta razón nel llinguaxe de les turbomáquinas ye frecuente falar de cambeos de presión pa referise a cambeos de entalpía o viceversa. Entá más, si la enerxía interna d'un fluyíu varia pocu nel so pasu pol rotor, el cambéu de entalpía va ser proporcional al cambéu de presión, y asina ye posible escribir otra definición de grau de reacción:

${\displaystyle R={\frac {\mbox{enerxía apurrida en forma de entalpía}}{\mbox{enerxía total apurrida}}}}$

y poles espresiones enriba mentaes:

${\displaystyle R={\frac {{\frac {{o_{2}}^{2}-{o_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {{w_{1}}^{2}-{w_{2}}^{2}}{2}}}{{\frac {{c_{2}}^{2}-{c_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {{o_{2}}^{2}-{o_{1}}^{2}}{2}}+{\frac {{w_{1}}^{2}-{w_{2}}^{2}}{2}}}}}$

Llimitaciones de la Teoría Euleriana

La descripción dada enriba del intercambiu enerxéticu dadu nel pasu del fluyíu de trabayu pol senu del rodete de la turbomáquina conozse como teoría euleriana. Esta teoría resulta satisfactoria en munchos casos, nos cualos son válides el camientos efeutuaos pa concluyir la ecuación fundamental de les turbomáquinas. Per otru llau cuando estos camientos nun son verificaes nun ye posible llograr una descripción satisfactoria a partir de la teoría euleriana, y en cada casu tienen de tomase les midíes competentes pa realizar un diseñu correutu.