Teorema fundamental del cálculu

El teorema fundamental del cálculu consiste (intuitivamente) na afirmación de que la derivación y integración d'una función son operaciones inverses.^[1] Esto significa que toa función acutada y integrable (siendo continua o discontinua nun númberu finito de puntos) verifica que la derivada de la so integral ye igual a ella mesma. Esti teorema ye central na caña de les matemátiques denomada analís matemáticu o cálculu.

El teorema foi fundamental porque hasta entós el cálculu averáu d'árees integrales- nel que se venía trabayando dende Arquímedes, yera una caña de les matemátiques que se siguía por separáu del cálculu diferencial que se venía desenvolviendo por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz nel sieglu XVIII, y dio llugar a conceutos como'l de les derivaes. Les integrales yeren investigaes como formes d'estudiar árees y volumen, hasta que nesi puntu de la hestoria dambes cañes converxeron, al demostrase que l'estudiu del "área so una función" taba íntimamente venceyáu al cálculu diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

Una consecuencia direuta d'esti teorema ye la regla de Barrow,^[2] denomada n'ocasiones segundu teorema fundamental del cálculu, y que dexa calcular la integral d'una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.

Historia

El teorema fundamental del cálculu referir a la diferenciación ya integración, demostrando qu'estos dos operaciones son esencialmente inverses la una de la otra. Antes del descubrimientu d'esti teorema, nun se reconoció qu'estos dos operaciones taben rellacionaes. Los antiguos matemáticos griegos sabíen cómo calcular l'área al traviés de los infinitesimales, una operación qu'agora llamaríamos integración. Los oríxenes de la diferenciación son tamién anteriores al teorema fundamental del cálculu en cientos d'años; por casu, nel sieglu XIV les nociones de continuidá de funciones y de movimientu yeren estudiaes polos calculadores de Oxford y otros estudiosos. La relevancia histórica del teorema fundamental del cálculu nun ye la capacidá de calcular estes operaciones, sinón la constatación de qu'estos dos operaciones distintes n'apariencia (cálculu d'árees xeométriques y cálculu de velocidaes) taben finalmente n'estrecha rellación.

La primer declaración publicada y prueba d'una versión acutada del teorema fundamental foi fecha por James Gregory (1638–1675).^[3] Isaac Barrow (1630–1677) demostró una versión más xeneralizada del teorema,^[4] ente que l'estudiante de Barrow, Isaac Newton (1642–1727), completó'l desenvolvimientu de la teoría matemática concernida. Gottfried Leibniz (1646–1716) sistematizó la conocencia nun cálculu de les cantidaes infinitesimales ya introdució la notación utilizada na actualidá.

Intuición xeométrica

L'área rayada en colloráu puede ser calculada como h vegaes f(x), o, si conociera la función A(X), como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximao iguales, especialemente pa valores pequeños de h.

Supóngase que se tien una función continua y = f(x) y que la so representación gráfica ye una curva. Entós, pa cada valor de x tien sentíu de manera intuitiva pensar qu'esiste una función A(x) que representa l'área so la curva ente 0 y x entá ensin conocer la so espresión.

Supóngase agora que quier calculase l'área so la curva ente x y x+h. Podría faese topando l'área ente 0 y x+h y depués restando l'área ente 0 y x. En resume, l'área sería A(x+h) − A(x).

Otra manera d'envalorar esta mesma área ye multiplicar h por f(x) pa topar l'área d'un rectángulu que coincide aproximao cola "loncha". Nótese que l'aproximamientu al área buscada ye más precisa cuanto más pequeñu sía'l valor de h.

Poro, puede dicise que A(x+h) − A(x) ye aproximao igual a f(x) · h, y que la precisión d'esti aproximamientu ameyora al menguar el valor de h. N'otres pallabres, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esti aproximamientu n'igualdá cuando h tiende a 0 como llende.

Estremando los dos llaos de la ecuación por h llógrase

$f(x)\approx {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}.$

Cuando h tiende a 0, reparar que'l miembru derechu de la ecuación ye cenciellamente la derivada A’(x) de la función A(x) y que'l miembru esquierdu quedar en ƒ(x) al yá nun tar h presente.

Amuésase entós de manera informal que ƒ(x) = A’(x), esto ye, que la derivada de la función d'área A(x) ye en realidá la función ƒ(x). Dichu d'otra forma, la función d'área A(x) ye la antiderivada de la función orixinal.

Lo que s'amosó ye que, intuitivamente, calcular la derivada d'una función y "topar l'área" so la so curva son operaciones "inverses", esto ye, l'oxetivu del teorema fundamental del cálculu integral.

Primer teorema fundamental del cálculu

Dada una función f integrable sobre'l intervalu $[a,b]$ , definimos F sobre $[a,b]$ por $F(x)={\int _{a}^{x}f(t)dt}$ . Si f ye continua en $c\in (a,b)$ , entós F ye derivable en $c$ y F'(c) = f(c).

Usando la Regla de la cadena llogramos de resultes direuta del primer teorema fundamental del cálculu infinitesimal:

${\frac {d}{dx}}{\int _{a(x)}^{b(x)}f(t)dt}=f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x)$

Siendo f(t) una función integrable sobre l'intervalu [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

Demostración del teorema fundamental del cálculu
* Lema Sía $f$ integrable sobre $[a,b]$ y $m\leq f(x)\leq M\;\forall x\in [a,b]$ Entós $m(b-a)\leq {\int _{a}^{b}f(t)dt}\leq M(b-a)$ Demostración del lema Ta claro que $m(b-a)\leq L(f,P)\ {\hbox{y}}\ O(f,P)\leq M(b-a)$ pa toa partición $P$ . Yá que $\int _{a}^{b}f=\sup {L(f,P)}=\inf {O(f,P)}$ , la desigualdá síguese darréu. Demostración del terorema Por definición tiense que $F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}$ . Sía h>0. Entós $F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}$ . Defínese $m_{h}$ y $M_{h}$ como: $m_{h}=\inf\{f(x)\|c\leq x\leq c+h\}$ , $M_{h}=\sup\{f(x)\|c\leq x\leq c+h\}$ Aplicando'l 'lema' reparar que: $m_{h}\cdot h\leq {\int _{c}^{c+h}f(t)dt}\leq M_{h}\cdot h$ . Poro, $m_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq M_{h}$ Sía $h<0$ . Sean ${m^{}}_{h}=\inf\{f(x)\|c+h\leq x\leq c\}$ , ${M^{}}_{h}=\sup\{f(x)\|c+h\leq x\leq c\}$ . Aplicando'l 'lema' reparar que: ${m^{}}_{h}\cdot (-h)\leq {\int _{c+h}^{c}f(t)dt}\leq {M^{}}_{h}\cdot (-h)$ . Como: $F(c+h)-F(c)={\int _{c}^{c+h}f(t)dt}=-{\int _{c+h}^{c}f(t)dt}$ , entós, ${M^{}}_{h}\cdot h\leq F(c+h)-F(c)\leq {m^{}}_{h}\cdot h$ . Yá que $h<0$ , tiense que: ${m^{}}_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq {M^{}}_{h}$ . Y como $f$ ye continua en c tiense que $\lim _{h\rightarrow 0}m_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}M_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{m^{}}_{h}=\lim _{h\rightarrow 0}{M^{}}_{h}=f(c)$ , y esto lleva a que $F'(c)={\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}}=f(c)$ .

Exemplos

F(x)=\int _{0}^{x}t^{2}dt\quad \Rightarrow \quad F'(x)=x^{2}

H(x)=\int _{0}^{y^{3x}}\sin(t)dt\quad \rightarrow \quad H'(x)=\sin(y^{3x})y^{3x}\cdot 3

G(x)=\int _{0}^{x^{2}}\arcsin(t)dt\quad \rightarrow \quad G'(x)=\arcsin(x^{2})\cdot 2x

J(x)=\int _{0}^{\int _{a}^{x}{\frac {1}{(1+\sin ^{2}t)}}dt}{\frac {1}{(1+\sin ^{2}t)}}dt\quad \rightarrow \quad J'(x)={\frac {1}{(1+\sin ^{2}(\int _{a}^{x}{\frac {1}{(1+\sin ^{2}t)}}dt))}}\,\cdot \,{\frac {1}{(1+\sin ^{2}x)}}

Otra demostración del teorema fundamental del cálculu
Coyendo un intervalu zarráu $[a,x]$ sobre $[a,b]$ , yá que $f(t)$ ye continua en $[a,b]$ , tamién lo será en $[a,x]$ . Según el teorema del valor mediu pa integrales cumplir que: $\exists \xi \in [a,x]:\quad f(\xi )={\frac {1}{x-a}}\int _{a}^{x}f(t)dt$ Faciendo l'intervalu bien pequeñu de tal manera que $x\longrightarrow \ a$ y por cuenta de esi enclín tiense tamién que $\xi \longrightarrow \ a$ Polo que nes llendes llegar a: $\lim _{\xi \to a}f(\xi )=\lim _{x\to a}{\frac {\int _{a}^{x}f(t)dt}{x-a}}$ Sabemos que : $\int _{a}^{a}f(t)dt=0$ Entós la ecuación puede escribir como : $\lim _{\xi \to a}f(\xi )=\lim _{x\to a}{\frac {\int _{a}^{x}f(t)dt-\int _{a}^{a}f(t)dt}{x-a}}$ Yá que $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ , entós $F(a)=\int _{a}^{a}f(t)dt$ $\lim _{\xi \to a}f(\xi )=\lim _{x\to a}{\frac {F(x)-F(a)}{x-a}}$ Y por cuenta de que $f(t)$ ye continua n'a, entós $\lim _{\xi \to a}f(\xi )=f(a)$ $f(a)=\lim _{x\to a}{\frac {F(x)-F(a)}{x-a}}$ Vista la ecuación d'otra manera: $f(x)\|_{x=a}={\frac {dF(x)}{dx}}\|_{x=a}$ Polo tanto ${\frac {dF(x)}{dx}}=f(x)$ O tamién ${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)$ Y en consecuencia $\forall c\in (a,b):\quad {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt\ \|_{x=c}=f(c)$ Con ello demuestra'l primer teorema fundamental del cálculu.

Segundu teorema fundamental del cálculu

El segundu teorema fundamental del cálculu integral (o regla de Newton-Leibniz, o tamién regla de Barrow, n'honor al matemáticu inglés Isaac Barrow, profesor d'Isaac Newton) ye una propiedá de les funciones continues que dexa calcular fácilmente'l valor de la integral definida a partir de cualesquier de les primitives de la función.

Enunciáu

Dada una función f(x) integrable nel intervalu [a,b] y sía F(x) cualesquier función primitiva de f, ye dicir F '(x) = f(x). Entós

$\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Demostración del segundu teorema fundamental del cálculu
Considérese la siguiente primitiva de $f$ definida nel intervalu $[a,b]$ : $G(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$ . esto debíu al primera teorema fundamental del cálculu'l cual establez que: $G'(x)=f(x){\ }\forall x\in [a,b]$ . Como $G$ y $F$ son primitives de $f$ , entós: $\exists C\in \mathbb {R$ . Reparar que: $0=G(a)=F(a)+c\,$ y de eso síguese que $c=-F(a)\,$ ; poro, $G(x)=F(x)-F(a)\,$ . Y en particular si $x=b$ : $\int _{a}^{b}f(t)dt=G(b)=F(b)-F(a)$

Exemplos

\int _{0}^{\pi }\cos(x)dx=\sin(\pi )-\sin(0)=0

\int _{1}^{y}{\frac {dx}{x}}=\ln(y)-\ln(1)=1

Como puede integrase darréu.

Ver tamién

Métodos d'integración
Regla de Leibniz
Integral de Riemann

Referencies

↑ «El Teorema Fundamental del Cálculu (1)» (castellanu). Matemátiques Visuales. Consultáu'l 15 de marzu de 2016.
↑ «La Regla de Barrow» (castellanu). Secctor Matemática. Consultáu'l 15 de marzu de 2016.
↑ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.
↑ Vease en:

Enllaces esternos

El descubrimientu del cálculu integral – Universidá Autónoma de Madrid
Interpretación gráfica del Teorema Fundamental del Cálculu – Manuel Sada Allo
Weisstein, Eric W. «Teorema fundamental del cálculu» (inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Demostración Euclidiana del TFC – James Gregory, en Convergence (n'inglés)
Isaac Barrow's proof of the Fundamental Theorem of Calculus (n'inglés)

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[MV-1] «El Teorema Fundamental del Cálculu (1)» (castellanu). Matemátiques Visuales. Consultáu'l 15 de marzu de 2016.

[RB-2] «La Regla de Barrow» (castellanu). Secctor Matemática. Consultáu'l 15 de marzu de 2016.

[3] See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.

[4] Vease en:

[1]

[2]

[3]

[4]