Representación canónica d'un enteru positivu

Tou enteru positivu n > 1 pue ser representáu esautamente d'una única manera como un productu de potencies de númberos primos:

${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}}$

onde p₁ < p₂ < ... < p_k son primos y α_i son enteros positivos.

Esta representación llámase representación canónica^[1] de n, o forma estándar^[2][3] de n.

Por casu 999 = 3³×37, 1000 = 2³×5³, 1001 = 7×11×13

Nótese que los factores p⁰ = 1 pueden ser inxertaos ensin camudar el valor de n (p.e. 1000 = 2³×3⁰×5³). N'efeutu, cualquier númberu positivu pue ser representáu namái como un productu infinitu tomáu sobremanera'l conxuntu de los númberos primos,

${\displaystyle n=2^{\alpha _{2}}3^{\alpha _{3}}5^{\alpha _{5}}7^{\alpha _{7}}\cdots =\prod _{\mathbb {P} }p^{\alpha _{p}}}$

onde un númberu finito de α_p son enteros positivos, y el restu son cero. Dexando esponentes negativos apúrrese una forma canónica pa los númberos racionales.

Importancia

El teorema establez la importancia de los númberos primos. Estos son los lladriyos básicos» colos que se constrúin» los enteros positivos, nel sentíu de que tou enteru positivu puede construyise como productu de númberos primos d'una única manera.

Conocer la factorización en primos d'un númberu dexa atopar tolos sos divisores, primos o compuestos. Por casu, la factorización enantes dada de 6936 amuesa que cualquier divisor positivu 6936 tien de tener la forma: ${\displaystyle 2^{a}\cdot 3^{b}\cdot {17}^{c}}$, onde 0 ≤ a ≤ 3 (4 valores posibles), 0 ≤ b ≤ 1 (2 valores posibles), y 0 ≤ c ≤ 2 (3 valores posibles). Multiplicando'l númberu d'opciones independientes llógrase un total de ${\displaystyle 4\cdot 2\cdot 3=24}$ divisores positivos

Una vegada que se conoz la factorización en primos de dos númberos, pueden topase fácilmente'l so máximu común divisor y mínimu común múltiplu. Por casu, de les factorizaciones anteriores de 6936 y 1200 puede deducise que'l so máximu común divisor ye 2³ · 3 = 24. Sicasí, si nun se conoz la factorización en primos, usar l'algoritmu d'Euclides polo xeneral rique munchos menos cálculos que factorizar los dos númberos.

El teorema fundamental implica que les funciones aritmétiques aditivas y multiplicatives tán dafechu determinaes polos sos valor nes potencies de los númberos primos.

Cualquier númberu enteru n mayor que 1 puede escribise de manera única, salvo l'orde, como un productu de númberos primos.

Demostración d'Euclides

La demostración facer en dos pasos. Nel primer pasu, demuéstrase que tou númberu ye un productu de númberos primos (incluyíu'l productu vacíu). Nel segundu pasu, demuéstrase que dambes representaciones son iguales.

Demostración per descensu infinitu

Otra prueba de la unicidá de les factorizaciones en primos d'un enteru dadu utiliza'l métodu del descensu infinitu.

Supóngase que ciertu númberu enteru puede escribise como productu de factores primos de (siquier) dos maneres distintes. Entós, tien d'esistir un mínimu enteru s con esa propiedá. Sean p₁·...·p_m y q₁·...·q_n dos factorizaciones distintes de s. Nengún p_i (con 1 ≤ i ≤ m) pue ser igual a dalgún q_j (con 1 ≤ j ≤ n), pos de lo contrario habría un númberu menor que s que se podría factorizar de dos maneres (llográu al quitar factores comunes a dambos productos) contradiciendo'l camientu anterior. Puédese entós suponer ensin perda de xeneralidá que p₁ ye un factor primu menor que tolos q_j (con 1 ≤ j ≤ n). Considérese en particular q₁. Entós esisten enteros d y r tales que :${\displaystyle {q_{1} \over p_{1}}=d+{r \over p_{1}}}$ y 0 < r < p₁ < q₁ (r nun puede ser 0, cuidao qu'en tal casu q₁ sería un múltiplu de p₁ y polo tanto compuestu). Al multiplicar dambos llaos por s / q₁, resulta :${\displaystyle p_{2}\ldots p_{m}=\left(d+{r \over p_{1}}\right)q_{2}\ldots q_{n}=d\cdot q_{2}\ldots q_{n}+{r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}}.}$ El segundu términu de la última espresión tien de ser igual a un enteru (pos lo son tamién los otros términos), al que se va llamar k; esto ye, :${\displaystyle k={r\cdot q_{2}\ldots q_{n} \over p_{1}},}$ d'onde se llogra, :${\displaystyle p_{1}\cdot k=r\cdot q_{2}\ldots q_{n}.}$ El valor de los dos llaos d'esta ecuación ye obviamente menor que s, pero sigue siendo lo bastante grande como pa ser factorizable. Como r ye menor que p₁, los dos factorizaciones llograes en dambos llaos dempués d'escribir k y r como productu de primos tienen de ser distintos. Esto contradiz el camientu de que s ye l'enteru más pequeñu que se puede factorizar en más d'una forma. Poro, el camientu inicial ten de ser falsa.

Demostración por álxebra astracta

Sía n un enteru. Z_n ye un grupu finito, polo que tien una serie de composición. Por definición, los factores nuna serie de composición son simples; poro, na serie de Z_n éstos tienen de ser de la forma Z_p pa dalgún primu p. Como l'orde de Z_n ye'l productu de los órdenes de los factores de la so serie de composición, esto da una factorización de n en númberos primos. Pero'l teorema de Jordan-Hölder afirma qu'una serie de composición ye única, y polo tanto la factorización de n tien de ser única.