Relatividá especial

La teoría de la relatividá especial, tamién llamada teoría de la relatividá acutada, foi publicada por Albert Einstein en 1905 y describe la física del movimientu nel marcu d'un espaciu-tiempu planu. Esta teoría describe correutamente'l movimientu de los cuerpos inclusive a grandes velocidaes y les sos interacciones electromagnétiques, úsase básicamente pa estudiar sistemes de referencia inerciales (nun ye aplicable pa problemes astrofísicos onde'l campu gravitatoriu desempeña un papel importante).

Estos conceutos fueron presentaos enantes por Poincaré y Lorentz, que son consideraos como precursores de la teoría. Magar la teoría resolvía un bon númberu de problemes del electromagnetismu y daba una esplicación del esperimentu de Michelson-Morley, nun apurre una descripción relativista fayadiza del campu gravitatoriu.

Tres la publicación del artículu d'Einstein, la nueva teoría de la relatividá especial foi aceptada nunos pocos años por práuticamente la totalidá de los físicos y los matemáticos. Ello ye que Poincaré o Lorentz tuvieren mui cerca de llegar al mesma resultancia que Einstein. La forma xeométrica definitiva de la teoría deber a Hermann Minkowski, antiguu profesor d'Einstein na Politéunica de Zürich; acuñó'l términu "espaciu-tiempu" (Raumzeit) y dio-y la forma matemática fayadiza.^{[nota 1]} El espaciu-tiempu de Minkowski ye una variedá tetradimensional na que s'enxareyaben d'una manera indisoluble los trés dimensiones espaciales y el tiempu. Nesti espaciu-tiempu de Minkowski, el movimientu d'una partícula representar por aciu la so llinia d'universu (Weltlinie), una curva que los sos puntos vienen determinaos por cuatro variables distintes: los trés dimensiones espaciales (${\displaystyle x\ }$,${\displaystyle y\ }$,${\displaystyle z\ }$) y el tiempu (${\displaystyle t\ }$). El nuevu esquema de Minkowski obligó a reinterpretar los conceutos de la métrica esistentes hasta entós. El conceutu tridimensional de puntu foi sustituyíu pol de sucesu. La magnitú de alloña reemplazar pola magnitú de intervalu.

Relatividá xeneral

Esquema bidimensional de la combadura del espaciu-tiempu (cuatro dimensiones) xenerada por una masa esférica.

La relatividá xeneral foi publicada por Einstein en 1915, presentada como conferencia na Academia de Ciencies Prusiana el 25 de payares. La teoría xeneraliza'l principiu de relatividá d'Einstein pa un observador arbitrariu. Esto implica que les ecuaciones de la teoría tienen de tener una forma de covariancia más xeneral que la covariancia de Lorentz usada na teoría de la relatividá especial. Amás d'esto, la teoría de la relatividá xeneral propón que la mesma xeometría del espaciu-tiempu vese afeutada pola presencia de materia, de lo cual resulta una teoría relativista del campu gravitatoriu. De fechu la teoría de la relatividá xeneral prediz que l'espaciu-tiempu nun va ser planu en presencia de materia y que la combadura del espaciu-tiempu va ser percibida como un campu gravitatoriu.

Tien De notase que'l matemáticu alemán David Hilbert escribió y fixo públiques les ecuaciones de la covariancia primero que Einstein. Ello resultó en non poques acusaciones de plaxu contra Einstein, pero probablemente sía más, porque ye una teoría (o perspeutiva) xeométrica. La mesma postula que la presencia de masa o enerxía «curva» al espaciu-tiempu, y esta combadura afecta la trayeutoria de los cuerpos móviles ya inclusive la trayeutoria de la lluz.

Einstein espresó'l propósitu de la teoría de la relatividá xeneral p'aplicar dafechu'l programa d'Ernst Mach de la relativización de tolos efeutos d'inercia, inclusive añadiendo la llamada constante cosmolóxica a les sos ecuaciones de campu^[4]pa esti propósitu. Esti puntu de contautu real de la influencia d'Ernst Mach foi claramente identificáu en 1918, cuando Einstein estrema lo qu'él bautizó como'l principiu de Mach (los efeutos inerciales derivar de la interacción de los cuerpos) del principiu de la relatividá xeneral, que s'interpreta agora como'l principiu de covariancia xeneral.^[5]

Partícules

Na teoría de la relatividá una partícula puntual queda representada por un par ${\displaystyle (\gamma (\tau ),m)\;}$, onde ${\displaystyle \gamma (\tau )\;}$ ye una curva diferenciable, llamada llinia d'universu de la partícula, y m ye un esguilar que representa la masa en reposu. El vector tanxente a esta curva ye un vector temporal llamáu cuadrivelocidad, el productu d'esti vector pola masa en reposu de la partícula ye precisamente'l cuadrimomento. Esti cuadrimomento ye un vector de cuatro componentes, trés d'estes componentes denominar espaciales y representen l'análogu relativista del momentu llinial de la mecánica clásica, la otra componente denomada componente temporal representa la xeneralización relativista de la enerxía cinética. Amás, dada una curva arbitraria nel espaciu-tiempu, puede definise a lo llargo d'ella'l llamáu intervalu relativista, que se llogra a partir del tensor métricu. L'intervalu relativista midíu a lo llargo de la trayeutoria d'una partícula ye proporcional al intervalu de tiempu propiu o intervalu de tiempu percibíu por dicha partícula.

Campos

Cuando se consideren campos o distribuciones continues de masa, precísase dalgún tipu de xeneralización pa la noción de partícula. Un campu físico tien momentum y enerxía distribuyíos nel espaciu-tiempu, el conceutu de cuadrimomento xeneralizar por aciu el llamáu tensor d'enerxía-impulso que representa la distribución nel espaciu-tiempu tantu d'enerxía como de momentu llinial. De la mesma un campu dependiendo de la so naturaleza puede representase por un esguilar, un vector o un tensor. Por casu el campu electromagnéticu representar por un tensor de segundu orde totalmente antisimétrico o 2-forma. Si conoz la variación d'un campu o una distribución de materia, nel espaciu y nel tiempu entós esisten procedimientos pa construyir el so tensor d'enerxía-impulso.

Magnitúes físiques

En relatividá, estes magnitúes físiques son representaes por vectores 4-dimensionales o bien por oxetos matemáticos llamaos tensores, que xeneralicen los vectores, definíos sobre un espaciu de cuatro dimensiones. Matemáticamente estos 4-vectores y 4-tensores son elementos definíos del espaciu vectorial tanxente al espaciu-tiempu (y los tensores defínense y constrúyense a partir del fibrado tanxente o cotanxente de la variedá que representa l'espaciu-tiempu).

Igualmente amás de cuadrivectores, defínense cuadritensores (tensores ordinarios definíos sobre'l fibrado tanxente del espaciu-tiempu concebíu como variedá lorentziana). La combadura del espaciu-tiempu representar por un 4-tensor (tensor de cuartu orde), ente que la enerxía y el momentu d'un mediu continuu o'l campu electromagnéticu representar por aciu 2-tensores (simétricu'l tensor enerxía-impulso, antisimétrico el de campu electromagnéticu). Los cuadrivectores son de fechu 1-tensores, nesta terminoloxía. Nesti contestu dizse qu'una magnitú ye un invariante relativista si tien el mesmu valor pa tolos observadores, obviamente tolos invariantes relativistes son esguilares (0-tensores), frecuentemente formaos pola contraición de magnitúes tensoriales.

L'intervalu relativista

L'intervalu relativista puede definise en cualquier espaciu-tiempu, sía esti planu como na relatividá especial, o curvu como en relatividá xeneral. Sicasí, por simplicidá, vamos aldericar primeramente'l conceutu d'intervalu pal casu d'un espaciu-tiempu planu. El tensor métricu del espaciu-tiempu planu de Minkowski designar cola lletra ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{ij}}$, y en coordenaes galileanas o inerciales toma la siguiente forma:^{[nota 4]}

${\displaystyle g_{ij}=\eta _{ij}={\begin{pmatrix}c^{2}&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$

El intervalu, la distancia tetradimensional, representar por aciu la espresión ${\displaystyle ds^{2}\ }$, que se calcula de la siguiente manera:

${\displaystyle ds^{2}\ =g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$

${\displaystyle ds^{2}\ =c^{2}(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}}$

${\displaystyle ds^{2}\ =c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=c^{2}dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}$

${\displaystyle ds^{2}\ =c^{2}dt^{2}-dl^{2}}$

Reproducción d'un conu de lluz, nel que se representen dos dimensiones espaciales y una temporal (exa d'ordenaes). L'observador asitiar nel orixe, ente que'l futuru y el pasáu absolutos vienen representaos peles partes inferior y superior de la exa temporal. El planu correspondiente a t = 0 denominar planu de simultaneidá o hipersuperficie de presente (tamién llamáu "diagrama de Minkowski"). Los sucesos asitiaos dientro de los conos tán venceyaos al observador por intervalos temporales. Los que s'asitien fora, por intervalos espaciales.

Los intervalos pueden ser clasificaos en tres categoríes: Intervalos espaciales (cuando ${\displaystyle ds^{2}}$ ye negativu), envernaes (si ${\displaystyle ds^{2}}$ ye positivu) y nulos (cuando ${\displaystyle \scriptstyle ds^{2}=0}$). Como'l llector podría comprobar, los intervalos nulos son aquellos que correspuenden a partícules que se mueven a la velocidá de la lluz, como los fotones: La distancia ${\displaystyle dl^{2}}$ percorrida pol fotón ye igual a la so velocidá (c) multiplicada pol tiempu ${\displaystyle \scriptstyle dt}$ y polo tanto l'intervalu ${\displaystyle \scriptstyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dl^{2}}$ faise nulu.

Los intervalos nulos pueden ser representaos en forma de conu de lluz, popularizaos pol celebérrimo llibru de Stephen Hawking, Historia del Tiempu. Sía un observador asitiáu nel orixe, el futuru absolutu (los sucesos que van ser percibíos pol individuu) esplegar na parte cimera de la exa d'ordenaes, el pasáu absolutu (los sucesos que yá fueron percibíos pol individuu) na parte inferior, y el presente percibíu pol observador nel puntu 0. Los sucesos que tán fora del conu de lluz nun nos afecten, y polo tanto dicir d'ellos que tán asitiaos en zones del espaciu-tiempu que nun tienen rellación de causalidá cola nuesa.

Imaxinemos, por un momentu, que na galaxa Andrómeda, asitiada a 2,5 millones d'años lluz de nós, asocedió un cataclismu cósmicu fai 100 000 años. Yá que, primero: la lluz de Andrómeda tarda dos millones d'años en llegar hasta nós y segundu: nada puede viaxar a una velocidá cimera a la de los fotones, rescampla, que nun tenemos manera d'enteranos de lo qu'asocedió en dicha Galaxa fai tan solo 100 000 años. Dicir polo tanto que l'intervalu esistente ente felicidá hipotética catástrofe cósmica y nós, observadores del presente, ye un intervalu espacial (${\displaystyle ds^{2}<0}$), y poro, nun puede afectar a los individuos que nel presente viven na Tierra: Esto ye, nun esiste rellación de causalidá ente esi eventu y nós.

Imaxe de la galaxa Andrómeda, tomada pol telescopiu Spitzer, tal como yera fai 2,5 millones d'años (por tar asitiada a 2,5 millones d'años lluz). Los sucesos acaecíos 1 000 000 años tras van reparase dende la Tierra dientro d'un millón y mediu d'años. Dicir por tantu qu'ente tales eventos y nós esiste un intervalu espacial.

Analís

L'únicu problema con esta hipótesis, ye que al entrar nun furacu negru, anúlase l'espaciu tiempu, y como yá sabemos, daqué que contenga dalgún volume o masa, tien de tener a lo menos un espaciu onde allugase, el tiempu nesi casu, nun tien mayor importancia, pero l'espaciu xuega un rol bien importante nel allugamientu de volumes, polo qu'esto resulta bien improbable, pero non imposible pa la teunoloxía.

Podemos escoyer otru episodiu históricu inda más ilustrativu: El de la estrella de Belén, tal que foi interpretada por Johannes Kepler. Esti astrónomu alemán consideraba que dicha estrella identificar con una supernova que tuvo llugar l'añu 5 e. C., que la so lluz foi reparada polos astrónomos chinos contemporáneos, y que vieno precedida nos años anteriores por delles conxunciones planetaries na constelación de Piscis. Esa supernova probablemente españó fai miles d'años tras, pero la so lluz nun llegó a la tierra hasta l'añu 5 e. C. D'ende que l'intervalu esistente ente dichu eventu y les observaciones de los astrónomos exipciu y megalíticu (que tuvieron llugar varios sieglos antes de Cristu) sía un intervalu espacial, pos la radiación de la supernova nunca pudo llega-yos. Otra manera, la esplosión de la supernova per un sitiu, y les observaciones realizaes polos trés magos en Babilonia y polos astrónomos chinos nel añu 5 e. C. pol otru, tán xuníes ente sigo por un intervalu temporal, una y bones la lluz sí pudo algamar a dichos observadores.

El tiempu propiu y l'intervalu rellacionar por aciu la siguiente equivalencia: ${\displaystyle \scriptstyle \ cd\tau =ds}$, esto ye, l'intervalu ye igual al tiempu local multiplicáu pola velocidá de la lluz. Una de les carauterístiques tantu del tiempu local como del intervalu ye'l so invarianza ante los tresformamientos de coordenaes. Sía como quier el nuesu puntu de referencia, sía como quier la nuesa velocidá, l'intervalu ente un determináu eventu y nós permanez invariante.

Esta invarianza esprésase al traviés de la llamada xeometría hiperbólica: La ecuación del intervalu ${\displaystyle \scriptstyle ds}$ tien la estructura d'una hipérbola sobre cuatro dimensiones, que'l so términu independiente coincide col valor del cuadráu del intervalu (${\displaystyle \scriptstyle ds^{2}=dt^{2}-dl^{2}}$), que como s'acaba de dicir nel párrafu anterior, ye constante. Les asíntotas de la hipérbola vendríen coincidir col conu de lluz.

Cuadrivelocidad, aceleración y cuadrimomentum

Nel espaciu-tiempu de Minkowski, les propiedaes cinemátiques de les partícules represéntense fundamentalmente por trés magnitúes: La cuadrivelocidad (o tetravelocidad) , la cuadriaceleración y el cuadrimomentum (o tetramomentum).

La cuadrivelocidad ye un cuadrivector tanxente a la llinia d'universu de la partícula, rellacionada cola velocidá coordenada d'un cuerpu midida por un observador en reposu cualesquier, esta velocidá coordenada definir cola espresión newtoniana ${\displaystyle dx^{i}/dt}$, onde ${\displaystyle (t,x^{1},x^{2},x^{3})\;}$ son el tiempu coordenáu y les coordenaes espaciales midíes pol observador, pal cual la velocidá newtoniana ampliada vendría dada por ${\displaystyle (1,v^{1},v^{2},v^{3})\,}$. Sicasí, esta midida newtoniana de la velocidá nun resulta preséu en teoría de la relatividá, porque les velocidaes newtonianas midíes por distintos observadores nun son fácilmente relacionables por non ser magnitúes covariantes. Asina en relatividá introduz una cambéu nes espresiones que dan cuenta de la velocidá, introduciendo un invariante relativista. Esti invariante ye precisamente'l tiempu propiu de la partícula que ye fácilmente relacionable col tiempu coordenáu de distintos observadores. Usando la rellación ente tiempu propiu y tiempu coordenáu: ${\displaystyle dt=\gamma d\tau \;}$ defínese la cuadrivelocidad [mesma] multiplicando por ${\displaystyle \ \gamma }$ les de la velocidá coordenada: ${\displaystyle o^{\alpha }=v^{\alpha }\gamma =dx^{i}/d\tau }$.

La velocidá coordenada d'un cuerpu con masa depende caprichosamente del sistema de referencia qu'escoyamos, ente que la cuadrivelocidad propia ye una magnitú que se tresforma acordies con el principiu de covariancia y tien un valor siempres constante equivalente al intervalu estremáu ente'l tiempu propiu (${\displaystyle ds/d\tau }$), o lo que ye lo mesmo, a la velocidá de la lluz c. Pa partícules ensin masa, como los fotones, el procedimientu anterior nun puede aplicase, y la cuadrivelocidad puede definise a cencielles como vector tangente a la trayeutoria siguida polos mesmos.

La cuadriaceleración puede ser definida como la derivada temporal de la cuadrivelocidad (${\displaystyle a^{i}=du^{i}/d\tau }$). La so magnitú ye igual a cero nos sistemes inerciales, que les sos llinies del mundu son xeodésiques, rectes nel espaciu-tiempu llanu de Minkowski. Otra manera, les llinies del mundu curvadas correspuenden a partícules con aceleración distinta de cero, a sistemes non inerciales.

Xunto colos principios de invarianza del intervalu y la cuadrivelocidad, xuega un papel fundamental la llei de caltenimientu del cuadrimomentum. Ye aplicable equí la definición newtoniana del momentum (${\displaystyle {\vec {p}}=\mu {\vec {o}}}$) como la masa (nesti casu caltenida, ${\displaystyle \mu }$) multiplicada pola velocidá (nesti casu, la cuadrivelocidad), y polo tanto los sos componentes son los siguientes: ${\displaystyle (m,p^{1},p^{2},p^{3})\;}$, teniendo en cuenta que ${\displaystyle m=\mu \gamma \;}$. La cantidá de momentum calteníu ye definida como'l raigañu cuadráu de la norma del vector de cuadrimomentum. El momentum calteníu, al igual que l'intervalu y la cuadrivelocidad propia, permanez invariante ante los tresformamientos de coordenaes, anque tamién equí hai qu'estremar ente los cuerpos con masa y los fotones. Nos primeres, la magnitú del cuadriomentum ye igual a la masa multiplicada pola velocidá de la lluz (${\displaystyle |p|=\mu c}$). Otra manera, el cuadrimomentum calteníu de los fotones ye igual a la magnitú de la so momentum tridimensional (${\displaystyle |p|=p}$).

Como tanto la velocidá de la lluz como'l cuadrimomentum son magnitúes calteníes, tamién lo ye'l so productu, al que se-y da'l nome de enerxía caltenida (${\displaystyle Y_{con}=|p|c}$), que nos cuerpos con masa equival a la masa multiplicada pola velocidá de la lluz al cuadráu (${\displaystyle Y_{con}=\mu c^{2}}$, la famosa fórmula d'Einstein) y nos fotones al momentum multiplicáu pola velocidá de la lluz (${\displaystyle Y_{con}=pc}$)

Componentes ${\displaystyle \to (p^{0},p^{1},p^{2},p^{3})\to (\mu \gamma ,\mu v^{1}\gamma ,\mu v^{2}\gamma ,\mu v^{3}\gamma )\to (m,p^{1},p^{2},p^{3})}$

Magnitú del cuadrimomentum ${\displaystyle \to |p|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}={\sqrt {m^{2}c^{2}-p^{2}}}={\sqrt {{\frac {Y^{2}}{c^{2}}}-p^{2}}}}$

Magnitú en cuerpos con masa ${\displaystyle \to |p|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}=m{\sqrt {{\vec {o}}\cdot {\vec {o}}}}=\mu c}$
Magnitú en fotones (masa = 0) ${\displaystyle \to |p|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}={\sqrt {m^{2}c^{2}-p^{2}}}={\sqrt {p^{2}}}=p}$

Enerxía ${\displaystyle \to Y_{con}=c|p|=c{\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}={\sqrt {Y^{2}-p^{2}c^{2}}}}$

Enerxía en cuerpos con masa (cuerpos en reposu, p=0) ${\displaystyle \to Y_{con}={\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}\to Y_{con}=mc^{2}}$
Enerxía en fotones (masa en reposu = 0) ${\displaystyle \to Y_{con}={\sqrt {m^{2}c^{4}-p^{2}c^{2}}}={\sqrt {p^{2}c^{2}}}=pc}$

L'apaición de la Relatividá Especial punxo fin a la secular disputa que calteníen nel senu de la mecánica clásica les escueles de los mecanicistes y los energetistas. Los primeres sosteníen, siguiendo a Descartes y Huygens, que la magnitú caltenida en tou movimientu venía constituyida pol momentum total del sistema, ente que los energetistas -que tomaben por base los estudios de Leibniz- consideraben que la magnitú caltenida venía conformada pola suma de dos cantidaes: La fuercia vivo, equivalente a la metá de la masa multiplicada pola velocidá al cuadráu (${\displaystyle mv^{2}/2}$) a la que güei denominaríamos "enerxía cinética", y la fuercia muerta, equivalente al altor pola constante g (${\displaystyle hg}$), que correspondería a la "enerxía potencial". Foi'l físicu alemán Hermann von Helmholtz el que primero dio a la fuercies leibnizianas la denominación xenérica de enerxía y el que formuló la Llei de caltenimientu de la enerxía, que nun s'acuta a la mecánica, que s'estiende tamién a otres disciplines físiques como la termodinámica.

La mecánica newtoniana dio la razón a dambos postulaos, afirmando que tanto'l momentum como la enerxía son magnitúes calteníes en tou movimientu sometíu a fuercies conservativas. Sicasí, la Relatividá Especial dio un pasu más allá, por cuanto a partir de los trabayos d'Einstein y Minkowski el momentum y la enerxía dexaron de ser consideraos como entidaes independientes y pasóse-yos a considerar como dos aspeutos, dos facetes d'una única magnitú caltenida: el cuadrimomentum.

Componentes y magnitú de los distintos conceutos cinemáticos

Conceutu	Componentes	Espresión alxebraica	Partícules con masa	Fotones
Aceleración	${\displaystyle a^{\alpha }={\frac {d^{2}x^{\alpha }}{d\tau ^{2}}}}$	${\displaystyle }$	${\displaystyle \ a^{\alpha }=0}$ (sistemes inerciales) ${\displaystyle \ a^{\alpha }\not =0}$ (sistemes non inerciales)	Aceleración non definida
Cuadrimomentum	${\displaystyle \ p^{\alpha }=\mu o^{\alpha }={\begin{bmatrix}m\\-p^{1}\\-p^{2}\\-p^{3}\\\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle |p|={\sqrt {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}}={\sqrt {{\frac {Y^{2}}{c^{2}}}-p^{2}}}}$	${\displaystyle \ |p|=\mu c}$	${\displaystyle \ |p|=p}$

El tensor d'enerxía-impulso (T_ab)

Tensor de tensión-enerxía

Trés son les ecuaciones fundamentales qu'en física newtoniana describen el fenómenu de la gravitación universal: la primera, afirma que la fuercia gravitatoriu ente dos cuerpos ye proporcional al productu de les sos mases ya inversamente proporcional al cuadráu de la so distancia (1); la segunda, que'l potencial gravitatoriu (${\displaystyle \ \Phi }$) nun determináu puntu ye igual a la masa multiplicada pola constante G y estremada pola distancia r (2); y la tercera, finalmente, ye la llamada ecuación de Poisson (3), qu'indica que'l laplaciano^{[nota 5]} del potencial gravitatoriu ye igual a ${\displaystyle \ 4\pi G\rho }$, onde ${\displaystyle \ \rho }$ ye la densidá de masa nuna determinada rexón esférica.

${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}(1)}$${\displaystyle \to \Phi ={\frac {GM}{r}}(2)}$${\displaystyle \to \Delta \Phi =4\pi G\rho (3)}$

Sicasí, estes ecuaciones nun son compatibles cola Relatividá Especial por dos razones:

• En primer llugar la masa nun ye una magnitú absoluta, sinón que la so midida deriva en resultancies distintes dependiendo de la velocidá relativa del observador. D'ende que la densidá de masa ${\displaystyle \ \rho }$ nun puede sirvir de parámetru d'interacción gravitatoria ente dos cuerpos.
• De segundes, si'l conceutu d'espaciu ye relativu, tamién lo ye la noción de densidá. Rescampla que la contraición del espaciu producida pola medría de la velocidá d'un observador, torga la esistencia de densidaes que permanezan invariables ante los tresformamientos de Lorentz.

Por tou ello, resulta necesariu prescindir del términu ${\displaystyle \ \rho }$, asitiáu nel llau derechu de la fórmula de Poisson y sustituyilo por un oxetu xeométricu-matemáticu que permaneza invariante ante los tresformamientos de Lorentz: Dichu oxetu foi definíu por Einstein nes sos ecuaciones d'universu y recibe el nome de tensor d'enerxía-momentum (${\displaystyle \ T^{\alpha \beta }}$). Los sos coeficientes describen la cantidá de tetramomentum ${\displaystyle \ p^{\alpha }}$ que traviesa una hipersuperficie ${\displaystyle \ \Pi _{\beta }}$, normal al vector unitariu ${\displaystyle {\vec {o}}^{\beta }}$. D'esta miente, el tensor d'enerxía momentum puede espresase por aciu la siguiente ecuación:

${\displaystyle \ p^{\alpha }=\int _{\Pi }T^{\alpha \beta }d\Pi _{\beta }}$

O lo que ye lo mesmo: El componente ${\displaystyle \ p^{\alpha }}$ del tetramomentum ye igual a la integral de hipersuperficie ${\displaystyle \ d\Pi _{\beta }}$ del tensor de tensión-enerxía. Nun fluyíu ideal, del que tán ausentes tantu la mafa como la conducción de calor, los componentes del tetramomentum calcular de la siguiente forma:

${\displaystyle T^{\alpha \beta }\,=\left(\rho +{P \over c^{2}}\right)o^{\alpha }o^{\beta }-Pg^{\alpha \beta }}$

onde ${\displaystyle \ \rho }$ ye la densidá de masa-enerxía (masa per unidá de volume tridimensional), ${\displaystyle \ P}$ ye la presión hidrostática, ${\displaystyle \ o^{\alpha }}$ ye la cuadrivelocidad del fluyíu, y ${\displaystyle \ g^{\alpha \beta }}$ ye la matriz inversa del tensor métricu de la variedá.

Amás, si los componentes del tensor midir por un observador en reposu relativu respectu al fluyíu, entós, el tensor métricu vien constituyíu a cencielles pola métrica de Minkowski:

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\,=\eta _{\alpha \beta }=\operatorname {diag} (c^{2},-1,-1,-1)}$

${\displaystyle g^{\alpha \beta }\,=\eta ^{\alpha \beta }=\operatorname {diag} \left({\frac {1}{c^{2}}},-1,-1,-1\right)}$

Yá que amás la tetravelocidad del fluyíu respectu al observador en reposu ye:

${\displaystyle \ o^{\alpha }=(1,0,0,0)}$

de resultes d'ello, los coeficientes del tensor de tensión-enerxía son los siguientes:

${\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\rho &0&0&0\\0&-P_{1}&0&0\\0&0&-P_{2}&0\\0&0&0&-P_{3}\\\end{pmatrix}}}$

Parte de la materia que cai nel discu de acreción d'un furacu negru ye espulsada a gran velocidá en forma de remexos. En supuestos como esti, los efeutos gravitomagnéticos pueden llegar a algamar cierta importancia.

Onde ${\displaystyle \ \rho }$ ye la densidá de masa, y ${\displaystyle \ P_{i}}$ son los componentes tridimensionales de la presión hidrostática. Como vemos, el campu gravitatoriu tien dos fuentes distintos: La masa y el momentum del fluyíu en cuestión. Los efeutos gravitatorius aniciaos pola masa denominar efeutos gravitoeléctricos, ente que aquellos que se deben al momentum reciben el nome de efeutos gravitomagnéticos. Los primeres tienen una intensidá ${\displaystyle c^{2}}$ superior a los segundos, que solo se manifiesten naquellos casos nos que les partícules del fluyíu mover con una velocidá cercana a la de la lluz (fálase entós de fluyíos relativistes): Ye'l casu de los remexos (jets) que emanan del centru de la galaxa y que se propulsan nos dos direiciones marcaes pela exa de rotación d'esti cuerpu cósmicu; de la materia que se bastia escontra un furacu negru; y del fluyíu estelar que se dirixe escontra'l centru de la estrella cuando esta entra en colapsu. Nesti últimu casu, mientres les fases finales del procesu de contraición de la estrella, la presión hidrostática puede aportar a tan fuerte como pa llegar a acelerar el colapsu, en llugar de ralentizalo.

Podemos, a partir del tensor de tensión-enerxía, calcular cuánta masa contién un determináu volume del fluyíu: Retomando la definición d'esti tensor espuesta unes llinies más arriba, puede definise al coeficiente ${\displaystyle \ T^{00}}$ como la cantidá de momentum ${\displaystyle \ p^{0}}$ (esto ye, la masa) que traviesa la hipersuperficie ${\displaystyle \ d\Pi _{0}}$. Nel espaciu-tiempu de Minkowski, la hipersuperficie ${\displaystyle \ d\Pi _{0}}$ ye aquella rexón que se define poles trés bases vectoriales normales al vector ${\displaystyle \ dx^{0}}$: ${\displaystyle \ \Pi _{0}}$ ye, poro, un volume tridimensional, definíu polos vectores base ${\displaystyle {\vec {y}}_{1}}$ (exa x), ${\displaystyle {\vec {y}}_{2}}$ (exa y), y ${\displaystyle {\vec {y}}_{3}}$ (exa z). Podemos por tantu escribir:

${\displaystyle \ p^{0}=\int T^{00}d\Pi _{0}}$

${\displaystyle \ m=\int \rho dV}$

De la mesma, ye posible deducir matemáticamente a partir del tensor de tensión-enerxía la definición newtoniana de presión, introduciendo na mentada ecuación cualquier par d'índices que sían distintos de cero:

${\displaystyle \ p^{1}=\int _{\Pi }T^{11}d\Pi _{1}}$

La hipersuperficie ${\displaystyle \ d\Pi _{1}}$ ye aquella rexón del espaciu-tiempu definida polos trés vectores unitarios normales a ${\displaystyle \ dx_{1}}$ (tratar de los dos vectores espaciales, ${\displaystyle {\vec {y}}_{2}}$ y ${\displaystyle {\vec {y}}_{3}}$, correspondientes a les exes y y z; y del vector temporal ${\displaystyle {\vec {y}}_{0}}$ —o ${\displaystyle \ dt}$, como se prefiera—). Esta definición déxanos descomponer la integral de hipersuperficie nuna integral temporal (que'l so integrando vien definíu por ${\displaystyle \ dt}$) y otra de superficie (esta vegada bidimensional, ${\displaystyle \ dS}$):

${\displaystyle \ p^{1}=\int \int _{S}-P_{1}dS_{1}dt}$

Finalmente, derivamos parcialmente dambos miembros de la ecuación respeuto al tiempu, y teniendo en cuenta que la fuercia nun ye más que la tasa de medría temporal del momentum llogramos la resultancia siguiente:

${\displaystyle \ F^{1}=\int _{S}-P_{1}dS_{1}}$

Que contién la definición newtoniana de la presión como fuercia exercida por unidá de superficie.

El tensor electromagnéticu (F_ab)

Les ecuaciones deducíes pol físicu escocés James Clerk Maxwell demostraron qu'eletricidá y magnetismu nun son más que dos manifestaciones d'un mesmu fenómenu físicu: el campu electromagnéticu. Agora bien, pa describir les propiedaes d'esti campu los físicos de finales del sieglu XIX teníen d'utilizar dos vectores distintos, los correspondientes los campos llétrico y magnético.

Foi la llegada de la Relatividá Especial la que dexó describir les propiedaes del electromagnetismu con un solu oxetu xeométricu, el vector cuadripotencial, que'l so componente temporal corresponder col potencial llétricu, ente que los sos componentes espaciales yeren los mesmos que los del potencial magnéticu.

${\displaystyle \ A^{\alpha }=(V,A_{x},A_{y},A_{y})}$

D'esta miente, el campu llétrico pue ser entendíu como la suma del gradiente del potencial llétricu más la derivada temporal del potencial magnéticu:

${\displaystyle Y=-\nabla V-{\frac {\partial A}{\partial t}}}$

y el campu magnético, como'l rotacional del potencial magnéticu:

${\displaystyle B=\nabla \times A}$

Les propiedaes del campu electromagnéticu pueden tamién espresase utilizando un tensor de segundu orde denomináu tensor de Faraday y que se llogra estremando exteriormente al vector cuadripotencial ${\displaystyle \ A^{\alpha }}$

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }}$

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&Y_{x}/c&Y_{y}/c&Y_{z}/c\\-Y_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-Y_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-Y_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}};F_{\beta }^{\alpha }={\begin{pmatrix}0&Y_{x}&Y_{y}&Y_{z}\\-Y_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\-Y_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\-Y_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

La fuercia de Lorentz puede deducise a partir de la siguiente espresión:

${\displaystyle f^{\alpha }=qF_{\beta }^{\alpha }o^{\beta }}$

${\displaystyle F=q(Y+o\times v)}$

Onde q ye la carga y ${\displaystyle o^{\alpha }}$ la cuadrivelocidad de la partícula.

Bibliografía

• Girbau, J.: "Geometria diferencial i relativitat", Ed. Universitat Autònoma de Barcelona, 1993. ISBN 84-7929-776-X.
• Glick, T. F. (1987). The Comparative Reception of Relativity (n'inglés). Springer Science & Business Media. ISBN 9789027724984.

Enllaces esternos

• Wikiquote tien frases célebres suyes o que faen referencia a Teoría de la relatividá.
• Wikimedia Commons acueye conteníu multimedia sobre Teoría de la relatividá.
• La Relatividá ensin fórmules, en eltamiz.com (13-05-09)
• Surveying the shunting line of a ray of light of the space trd. (en portugués)