Una categoría con oxetos X,Y,Z y morfismos f, g, y g∘f.

La teoría de categoríes ye un estudiu matemáticu que trata d'axomatizar de forma astracta diverses estructures matemátiques como una sola, por aciu l'usu d'oxetos y morfismos. Coles mesmes trata d'amosar una nueva forma de ver les matemátiques ensin incluyir les nociones d'elementos, pertenencia, ente otres.

Historia

La teoría de categoríes foi introducida en Topoloxía alxebraica, por Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane en 1942, nun importante pasu pa la transición dende homoloxía a Teoría de la homoloxía. Stanislaw Ulam afirma qu'esistíen idees asemeyaes na escuela polaca de los años 30 (ver Stanislaw Ulam).^[1]

Los desarrollos subsiguientes de la teoría fueron impulsaos poles necesidaes computacionales del Álxebra homológica y más tarde poles necesidaes axomátiques de la Xeometría alxebraica.^[1] La teoría xeneral -cierta actualización del álxebra universal con munches carauterístiques nueves que daben pie a una cierta flexibilidá en semántica y lóxiques d'orde cimeru- vieno más tarde.

Estes aplicaciones de categoríes nel campu de los fundamentos tán siendo trabayaes en bastante detalle y non solamente en matemátiques. Esisten matemáticos como William Lawvere que trabayen na física, esisten físicos trabayando en n-categoríes, John Baez. La Lóxica Categórica ye agora un campu bien definíu basáu na teoría de tipos pa la Lóxica intuicionista, con aplicaciones a la teoría de la programación funcional y la teoría de dominios, toes enmarcaes nuna categoría cartesianamente zarrada como descripciones non sintáctiques del cálculo lambda. L'usu del llinguaxe de la teoría de les categoríes déxa-y a unu esclariar qué tienen esautamente de mancomún toes estes árees.

Funtores

Col conceutu de categoría pretende prindase -poniendo la énfasis nel conceutu de rellación (d'aplicación), más que d'elementu y pertenencia- la esencia d'una clase d'oxetos matemáticos, que se rellacionen por aciu aplicaciones, los morfismos na categoría en cuestión. Por casu, la clase de los grupos: en cuenta de estudiar los oxetos individuales (cada grupu) como se vieno faciendo, se enfatizan dichos morfismos ente ellos, que nun son otra cosa que les aplicaciones que "caltienen la so estructura". Nel exemplu de los grupos, dichos morfismos son los homomorfismos de grupos. Entós, una vegada que tenemos el nuesu "universu categorial" definíu -esto ye, una categoría- ye posible rellacionala con otres categoríes por aciu funtores, que son cierta xeneralización del conceutu de función pa categoríes: un funtor acomuña a cada oxetu d'una categoría un oxetu de la otra, y a cada aplicación de la primera una aplicación de la segunda. De cierta manera llévanos d'una imaxe de la categoría escontra la otra categoría, con ciertos graos de "afinamientu". Ciertes "construcciones naturales", como'l grupu fundamental d'un espaciu topolóxicu, pueden ser espresaes como funtores. Amás, dichos funtores tán bien de cutiu naturalmente rellacionaos y esto lleva al conceutu de tresformamientu natural.

Categoríes especiales, como los topos, tán sirviendo tamién como alternativa "generalizadora" y conceptualmente más rica de la teoría de conxuntos como fundamentu de les matemátiques ^{[ensin referencies]}.

Aproximamientu de la teoría de clases

Pa esaniciar los problemes surdíos de les paradoxes como la de Russell plantegóse'l siguiente parche a la Teoría de conxuntos:

Vamos Llamar "clase" a una agrupación d'oxetos.

Vamos Llamar "conxuntu" a les clases capaces de ser, elles mesmes, oxetos d'otres clases.

Vamos Llamar "clase mesma" a les clases incapaces de ser oxetos d'otra clase.

== Definición de categoría Complexu|1=delles definiciones y demostraciones matemátiques formales}}

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ye una categoría si tien:

1) una clase ${\displaystyle {Ob(}{\mathcal {A}})}$, llamada clase d'oxetos de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

2) , pa tou ${\displaystyle A,B\in Ob({\mathcal {A}})}$, un conxuntu de morfismos de ${\displaystyle A_{}^{}}$ en ${\displaystyle B_{}^{}}$, llamáu ${\displaystyle Mor_{\mathcal {A}}(A,B)_{}^{}}$, que los sos elementos ${\displaystyle {f}\in Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}$ escríbense como ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ o tamién ${\displaystyle A{\xrightarrow {\;\;\;\;f\;\;\;\;}}B}$.

3) , pa tou ${\displaystyle {A,B,C,D}\in {Ob(}{\mathcal {A}}{)}}$, y pa tou ${\displaystyle {f}\in {Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}}$, ${\displaystyle {g}\in {Mor_{\mathcal {A}}(B,C)}}$ cumplir les siguientes propiedaes:

a) esisti ${\displaystyle {h}\in {Mor_{\mathcal {A}}(A,C)}}$ tal que ${\displaystyle h=gf:=g\;{\circ }_{\mathcal {A}}\;f}$, esto ye, tenemos l'aplicación

b) propiedá asociativa na composición, ye dicir ${\displaystyle k(gf)=(kg)f_{}^{}}$, pa tou ${\displaystyle k\in {Mor_{\mathcal {A}}(C,D)}}$.

c) esistencia del morfismo identidá ${\displaystyle I_{B}^{\mathcal {A}}\in Mor_{\mathcal {A}}(B,B)}$ tal que ${\displaystyle I_{B}^{\mathcal {A}}f=f}$ y ${\displaystyle gI_{B}^{\mathcal {A}}=g}$.

Nota

Si les clases d'oxetos son solamente conxuntos, dizse que la categoría ye "pequeña" (small category). Esisten importantes categoríes que nun lo son.

Definición de subcategoría

Daes dos categoríes ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, vamos dicir que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ye una subcategoría de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ si:

i) ${\displaystyle Ob({\mathcal {B}})}$ ye subclase de ${\displaystyle {Ob(}{\mathcal {A}}{)}}$

ii) ${\displaystyle \forall A,B\in Ob({\mathcal {B}}),}$${\displaystyle \;Mor_{\mathcal {B}}(A,B)\subset Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}$

iii) ${\displaystyle \forall A,B,C\in Ob({\mathcal {B}}),}$${\displaystyle \;\forall f\in Mor_{\mathcal {B}}(A,B),}$${\displaystyle \;\forall g\in Mor_{\mathcal {B}}(B,C),}$

${\displaystyle f\;\circ {}_{\mathcal {B}}\;g=f\;\circ {}_{\mathcal {A}}\;g}$

iv) ${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {B}}),\;I_{A}^{\mathcal {B}}=I_{A}^{\mathcal {A}}}$.

nota

Dizse que la subcategoría ye llena si ${\displaystyle Mor_{\mathcal {B}}(A,B)=Mor_{\mathcal {A}}(A,B)}$

Definiciones pa tipos de morfismos

Dada una categoría ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y oxetos ${\displaystyle A,B\in Ob({\mathcal {A}})}$, vamos dicir qu'un morfismo ${\displaystyle f\in Mor(A,B)}$ ye :

• monomorfismo si ${\displaystyle \forall C\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \forall g,h\in Mor(C,A)}$ tales que ${\displaystyle fg=fh_{}^{},}$ siempres asocede qu'o implica que ${\displaystyle g=h_{}^{}}$.

• epimorfismo si ${\displaystyle \forall C\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \forall g,h\in Mor(B,C)}$ tales que ${\displaystyle gf=hf_{}^{},}$ siempres asocede qu'o implica que ${\displaystyle g=h_{}^{}}$.

• isomorfismu si ${\displaystyle \exists g\in Mor(B,A):fg=I_{B}}$ y ${\displaystyle gf=I_{A}^{}}$.

• endomorfismo si ${\displaystyle A=B_{}^{}.}$
• automorfismo si ${\displaystyle f_{}^{}}$ ye un isomorfismu y ${\displaystyle A=B_{}^{}.}$

Definiciones pa tipos d'oxetos

Dada una categoría ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, vamos dicir qu'un oxetu ${\displaystyle A\in Ob({\mathcal {A}})}$ ye:

• inicial si ${\displaystyle \forall B\in Ob({\mathcal {A}}),}$${\displaystyle \exists !f\in Mor(A,B).}$

• final, si ${\displaystyle \forall B\in Ob({\mathcal {A}}),}$${\displaystyle \exists !f\in Mor(B,A).}$

• nulu, si ye inicial y terminal al empar.

Definición de funtor

Daes dos categoríes ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, vamos dicir que ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ye:

• funtor covariante si:

1),${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {A}})}$, tenemos que ${\displaystyle F(A)\in Ob({\mathcal {B}})}$.

2),${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;\forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y)}$, tenemos que ${\displaystyle F(f)\in Mor_{\mathcal {B}}(F(X),F(Y))}$ tal que:

a),${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {A}})}$, tenemos que ${\displaystyle F(I_{A})=I_{F(A)}}$.

b), ${\displaystyle \forall X,Y,Z\in Ob({\mathcal {A}}),\;\forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y),\;\forall g\in Mor_{\mathcal {A}}(Y,Z)}$,

${\displaystyle F(g\;{\circ }_{\mathcal {A}}\;f)=F(g)\;{\circ }_{\mathcal {B}}\;F(f)}$.

• funtor contravariante si:

1),${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {A}})}$, tenemos que ${\displaystyle F(A)\in Ob({\mathcal {B}})}$.

3),${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;\forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y)}$, tenemos que ${\displaystyle F(f)\in Mor_{\mathcal {B}}(F(Y),F(X))}$ tal que:

a),${\displaystyle \forall A\in Ob({\mathcal {A}})}$, tenemos que ${\displaystyle F(I_{A})=I_{F(A)}}$.

b), ${\displaystyle \forall X,Y,Z\in Ob({\mathcal {A}}),\;\forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y),\;\forall g\in Mor_{\mathcal {A}}(Y,Z)}$,

${\displaystyle F(g\;{\circ }_{\mathcal {A}}\;f)=F(f)\;{\circ }_{\mathcal {B}}\;F(g)}$.

Nota

Daes tres categoríes ${\displaystyle {\mathcal {A}},\;{\mathcal {B}},\;{\mathcal {C}}}$, y dos funtores covariantes ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle G:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$, la composición ye'l funtor covariante ${\displaystyle GF:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ tal que:

• , ${\displaystyle \forall X\in Ob({\mathcal {A}}),\;GF(X)=G(F(X))}$

• , ${\displaystyle \forall f\in Mor_{\mathcal {A}},\;GF(f)=G(F(f))}$.

Definiciones pa tipos de funtores

Daes dos categoríes ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, vamos dicir qu'un funtor covariante ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ye:

• plenu si, ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;F_{|Mor(X,Y)}}$ ye refechu.

• fiel si, ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;F_{|Mor(X,Y)}}$ ye inyectivo.

• dafechu fiel si, ${\displaystyle \forall X,Y\in Ob({\mathcal {A}}),\;F_{|Mor(X,Y)}}$ ye biyectivo.

• mestu si, ${\displaystyle \forall B\in Ob({\mathcal {B}}),\;\exists A\in Ob({\mathcal {A}}):B}$ ye isomorfu a ${\displaystyle F(A)_{}^{}}$.

Dau un funtor covariante ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$, vamos dicir que ye un isomorfismu de categoríes, si ${\displaystyle \exists G:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}\;:\;GF=I_{\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle FG=I_{\mathcal {B}}}$.

Definición de tresformamientu natural

Daes dos categoríes ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, y dos funtores covariantes ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ y ${\displaystyle G:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$, hai una tresformamientu natural ${\displaystyle \tau _{}^{}}$ ente ${\displaystyle F_{}^{}}$ y ${\displaystyle G_{}^{}}$ si tien:

• , ${\displaystyle \forall X\in Ob({\mathcal {A}})}$, un morfismo ${\displaystyle \tau _{X}:F(X)\rightarrow G(X)}$

• , ${\displaystyle \forall f\in Mor_{\mathcal {A}}(X,Y),\;G(f)\tau _{X}=\tau _{Y}F(f)}$, esto ye, el siguiente diagrama ye conmutativu:

Vamos Dicir qu'un morfismo ${\displaystyle \tau _{}^{}}$ ye una equivalencia si ${\displaystyle \forall X\in Ob(A),\;\tau _{A}}$ ye un isomorfismu.

Vamos Dicir qu'un funtor ${\displaystyle F_{}^{}:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ye una equivalencia si esiste un funtor ${\displaystyle G_{}^{}:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$ tal que ${\displaystyle GF=I_{\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle FG=I_{\mathcal {B}}}$, onde vamos dicir que les dos categoríes son equivalentes.

Construcciones universales

Los funtores son de cutiu definíos per mediu de propiedaes universales; como exemplos tenemos los productos tensoriales de riba, la suma direuta y el productu direutu de grupos o d'espacios vectoriales, la construcción de los grupos llibres módulos, y llendes direutos y inversos. Los conceutos de llende y colímite xeneralicen múltiples conceutos. Les construcciones universales de cutiu dan llugar a pares de funtores axuntos.

Productu

Dada una categoría ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y una familia d'oxetos ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$, vamos llamar productu de ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ al par ${\displaystyle (A,\{\pi _{i}\}_{i\in I})}$ onde ${\displaystyle A\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \{\pi _{i}\}_{i\in I}}$ ye una familia de morfismos onde ${\displaystyle \pi _{i}:A\to A_{i}\;\forall i\in I}$, y tal que satisfai la condición de que pa cada familia ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$, onde ${\displaystyle f_{i}:X\to A_{i}\;\forall i\in I}$, esiste un únicu morfismo ${\displaystyle F:X\to A}$ tal que ${\displaystyle \pi _{i}F=f_{i},\;\forall i\in I.}$

El productu se denota por ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}=A}$ y en particular tamién ${\displaystyle A_{1}\times \dots \times A_{n}=A}$ si ${\displaystyle I=\{1,\;\dots ,n\}.}$

Coproducto

Dada una categoría ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y una familia d'oxetos ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$, vamos llamar coproducto de ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in I}}$ al par ${\displaystyle (A,\{\sigma _{i}\}_{i\in I})}$ onde ${\displaystyle A\in Ob({\mathcal {A}})}$ y ${\displaystyle \{\sigma _{i}\}_{i\in I}}$ ye una familia de morfismos onde ${\displaystyle \sigma _{i}:A_{i}\to A\;\forall i\in I}$, y tal que satisfai la condición de que pa cada familia ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$, onde ${\displaystyle f_{i}:A_{i}\to X\;\forall i\in I}$, esiste un únicu morfismo ${\displaystyle F:A\to X}$ tal que ${\displaystyle F\sigma _{i}=f_{i},\;\forall i\in I.}$

El coproducto se denota por ${\displaystyle \coprod _{i\in I}A_{i}=A.}$

Otros conceutos y resultaos

Les definiciones de categoríes y funtores apróvennos namái de la base inicial de la álxebra categorial. Los tópicos llistaos embaxo son bien importantes. Anque hai fuertes interrellaciones ente toos ellos, l'orde en que los damos pue ser consideráu una guía pa posteriores llectures.

• tresformamientu natural: Mientres los funtores dan un camín pa pasar, imprimir una categoría n'otra, los tresformamientos naturales apróvennos d'una rellación similar ente funtores.
• El Lema de Yoneda ye unu de los resultaos más famoses de la teoría de categoríes.
• Llendes y colímites: Pa introducir ciertes construcciones como los productos (de conxuntos, de topoloxíes, d'ordes parciales, ...), na teoría, les llendes y los colímites son d'ayuda.
• funtores axuntos: Un funtor puede ser l'adxuntu pela esquierda (o pela derecha) d'otru funtor que vaya na direición opuesta. Sicasí, cuando los comparamos coles rellaciones clásiques de les aplicaciones que caltienen les estructures (inverses...), el conceutu de adjunción de funtores aparenta ser bastante astractu y xeneral. Ye de gran utilidá entá y tien rellación con munchos otros conceutos importantes, como asocede na construcción de llendes.
• equivalencia de categoríes: Pa llograr un criteriu fayadizu pa discernir si dos categoríes pueden o nun ser consideraes similares, ye necesariu atopar una noción más xeneral que'l conceutu clásicu d'isomorfismu. Les equivalencies de categoríes tán bien rellacionaes con dualidá de categoríes.
• diagrames conmutativos: Una y bones la teoría de categoríes trata usualmente con oxetos y fleches ye conveniente espresar les identidaes por aciu diagrames.

Referencies

Bibliografía

Los dos testos de Lawvere son les introducciones más sencielles qu'esisten. El de Mac Lane ye unu "clásicu" nesta materia, y el Borceaux ye una pequeña enciclopedia.

• William Lawvere & Steve Schanuel, Matemátiques Conceptuales: Una primer introducción a categoríes, Sieglu XXI, 2002 (traducción de Marmolejo Rivas, Francisco a partir de Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, Cambridge, 1997).
• William Lawvere & Steve Schanuel, Sets for mathematics, Cambridge University Press, 2003.
• Saunders Mac Lane (1998): Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5, Springer; ISBN 0-387-98403-8
• Francis Borceux. Handbook of Categorical Algebra, volumes 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 1994.
• Juan Francísco Escamilla Castillo. Introducción a la Álxebra Astracta, Lulu.
• A. J. Berrick & M. Y. Keating. Categories and Modules. Cambridge University Press. 2000.

Enllaces esternos

• Primer presentación: http://www.jstor.org/stable/1990284

• Un proyeutu que pretende empezar la divulgación en castellán ye'l d'http://arrows.ourproject.org/.

• "Category Theory" artículu n'inglés de Jean-Pierre Marquis na Stanford Encyclopedia of Philosophy .
• Plantía:Planetmath reference