Teoría multiplicativa de númberos

El Teorema de los númberos primos ye probablemente unu de los resultaos más famoses ya interesantes de la teoría analítica de númberos. Euclides demostró qu'esiste un númberu infinitu de primos, pero resulta bien difícil atopar un métodu eficiente pa determinar si un númberu ye primu o non, especialmente nel casu de númberos primos bien grandes. Un problema rellacionáu anque más simple ye determinar la distribución asintótica de los númberos primos; esto ye, una descripción gruesa de cuantos primos ye d'esperar esistan menores qu'un ciertu númberu. Gauss, depués d'identificar una llarga llista de primos, conxeturó que'l númberu de primos menores o iguales qu'un númberu N grande ye bien próximu al valor de la siguiente integral

${\displaystyle \,\int _{2}^{N}{\frac {1}{\log(t)}}\,dt.}$

En 1859 Bernhard Riemann utilizó analís complexu y una función especial meromorfa anguaño conocida como función zeta de Riemann pa llograr una espresión analítica pa los númberos primos menores o iguales qu'un númberu real x. En forma notable, el términu principal de la fórmula de Riemann yera esautamente la integral indicada primeramente, lo cual contribuyó a aumentar el barruntu sobre la validez de la conxetura de Gauss. Riemann afayó que los términos d'error nesta espresión y, polo tanto la forma en que los primos atópense distribuyíos, tán estrechamente rellacionaos colos ceros complexos de la función zeta. Utilizando les idees de Riemann y llogrando información adicional sobre los ceros de la función zeta, Jacques Hadamard y Charles Jean de la Vallée-Poussin tuvieron ésitu en completar la demostración de la conxetura de Gauss. En particular, ellos demostraron que si π(x) = { númberu de primos ≤ x } entós

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$

Esta resultancia notable ye lo qu'anguaño se conoz como'l Teorema de los númberos primos. En términos simples, el mesmu establez que dau un númberu N grande, el númberu de primos menores o iguales a N ye aproximao N/log(N).

D'una manera más xeneral, puede formulase la mesma pregunta sobre la cantidá de númberos primos en cualquier progresión aritmética a+nq pa cualesquier enteru n. Na que foi una de les primeres aplicaciones de les téuniques analítiques a la teoría de númberos, Dirichlet demostró que toa progresión aritmética con a y q coprimos contién un númberu infinitu de primos. El teorema de los númberos primos puede xeneralizase pa esti problema; si π(x,a,q) = { númberu de primos ≤ x tal que p se atopa en la progresión aritmética a+nq}, entós si a y q son coprimos,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.}$

Tamién esiste una gran cantidá de conxetures complexes y amplies na teoría de númberos que les sos demostraciones paeceríen ser demasiáu difíciles pa les téuniques disponibles anguaño, tal como la conxetura de los primos ximielgos que se preguntar si esiste un númberu infinitu de primos p tales que p + 2 ye primu. Suponiendo la validez de la conxetura de Elliott-Halberstam apocayá demostróse (por Daniel Goldston, János Pintz, Cem Yıldırım) qu'esiste un númberu infinitu de primos p tales que p + k ye primu pa un númberu par positivu k menor que 16.

=== Teoría aditiva de númberos Unu de los problemes más importantes na teoría aditiva de númberos ye'l problema de Waring, que pregunta si ye posible, pa cualesquier k ≥ 2, escribir cualquier númberu enteru positivu como la suma d'un númberu acutáu de les potencies k^iésimas,

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.\,}$

El casu de los cuadraos, k = 2, lo resolvió Lagrange en 1770, que demostró que tou númberu enteru positivu ye la suma d'a lo sumo cuatro cuadraos. El casu xeneral demostrar Hilbert en 1909, utilizando téuniques alxebraiques que nun brindaron cotes esplícites. Una meyora bien importante foi l'usu de téuniques analítiques p'atacar el problema que desenvolvieron Hardy y Littlewood. Estes téuniques son el denomináu métodu del círculu, y da cotes cimeres esplícites de la función G(k), el menor númberu de potencies k^ésimas necesaries, tal como la cota de Vinogradov

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).\,}$

Problemes diofantinos

Los problemes diofantinos traten sobre les soluciones enteres a ecuaciones polinómiques, y especialmente cuantes soluciones ye esperable atopar dientro d'un ciertu intervalu.

Unu de los exemplos más importantes ye'l problema del círculu de Gauss, que busca puntos enteros del tipu (x y) que satisfaen

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

En términos xeométricos, dau un círculu centráu nel orixe nel planu de radiu r, el problema pregunta cuantos puntos d'una retícula que los sos vértices sían numeros enteros atópense sobre o dientro del círculu. Nun ye difícil demostrar que la respuesta ye ${\displaystyle \,\pi r^{2}+Y(r)\,}$, onde ${\displaystyle \,Y(r)/r^{2}\,\to 0\,}$ cuando ${\displaystyle \,r\to \infty \,}$. Nuevamente, la parte difícil y el gran llogru de la teoría analítica de númberos ye llograr cotes cimeres específiques del términu error Y(r).

Gauss demostró que ${\displaystyle Y(r)=O(r)}$. Polo xeneral, un términu error del tipu O(r) ye posible col círculu unitariu (o, más apropiadamente, el discu unitariu zarráu) reemplazáu por dilatar de cualesquier region plana acutada con una frontera nidia d'a cachos. Mas entá, si reemplázase'l círculu unitariu pol cuadráu unitariu, el términu error del problema xeneral pue ser tan grande como una función llinial de  r. Polo tanto una cota del error del tipu ${\displaystyle O(r^{\delta })}$ pa dalgún ${\displaystyle \delta <1}$ nel casu del círculu ye una meyora considerable. Sierpiński en 1906 foi'l primeru que llegó a esta resultancia, y demostró que ${\displaystyle Y(r)=O(r^{2/3})}$. En 1915, Hardy y Landau demostraron (cada unu en forma independiente) que non tiense ${\displaystyle Y(r)=O(r^{1/2})}$. Dende entós l'oxetivu foi demostrar que pa cada ${\displaystyle \epsilon >0}$ fixu esiste un númberu real ${\displaystyle C(\epsilon )}$ tal que ${\displaystyle Y(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$.

Nel 2000 Huxley demostró^[5] que ${\displaystyle Y(r)=O(r^{131/208})}$, que ye'l meyor resultáu que fuera publicáu.

Series de Dirichlet

Una de les ferramientes más poderoses de la teoría multiplicativa de númberos son les series de Dirichlet, que son funciones d'una variable complexa definíes por una serie infinita:

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

Dependiendo del valor de los coeficientes ${\displaystyle a_{n}}$, esta serie puede converxer en tol dominiu, en nengún puntu, o nuna porción del planu. En munchos casos, inda cuando la serie nun converxe en nengún puntu, la función holomórfica que define pue ser estendida analíticamente a una función meromórfica en tol planu complexu. La utilidá de funciones como esta nos problemes multiplicativos puede entendese a partir de la siguiente identidá formal

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

poro, los coeficientes del productu de dos series de Dirichlet series con convoluciones multiplicatives de los coeficientes orixinales.

Entá más, pueden utilizase téuniques tales como les sumes parciales y los teoremas tauberianos pa llograr información sobre los coeficientes a partir d'información analítica sobre les series de Dirichlet. Polo tanto un métodu avezáu pa envalorar una función multiplicativa ye espresala como una serie de Dirichlet (o un productu de series de Dirichlet más simples utilizando identidaes de convolución), esaminar esta serie como una función complexa y depués convertir esta información analítica n'información sobre la función orixinal.

La función zeta de Riemann

Representación de la función zeta de Riemann ζ(s) nel planu complexu. El color en cada puntu s representa'l valor de ζ(s): los colores fuertes signifiquen valores próximos a cero. El sector blancu pa s = 1 ye'l polu de la función zeta; los puntos negros na parte negativa de la exa real y sobre la llinia crítica Re(s) = 1/2 son los sos ceros. Los valores positivos reales son amosaos en color coloráu.

Euler afayó que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}{\text{ con }}s>1\,\,\ \,}$

onde p ye un númberu primu

Riemann analizó esta función pa valores complexos de s y amosó qu'esta función puede ser estendida a una función meromórfica en tol planu con un polu simple en s = 1. Esta función ye denomada la función Zeta de Riemann y representar como ζ(s). Esiste abondosa lliteratura sobre esta función y la función ye un casu especial de les funciones L de Dirichlet. El llibru de Edwards, The Riemann Zeta Function ye una bona fonte pa estudiar la función yá que Edwards analiza en detalle l'escritu orixinal de Riemann y utiliza téuniques básiques de primeru y segundu añu de la universidá. Una comprensión básica del analís complexu y analís de Fourier ye precisu pa esta llectura.

Los estudiosos teóricos de la teoría de los númberos de cutiu interésense en conocer l'error de los aproximamientos talaes como'l teorema del númberu primu. Nesti casu, l'error ye menor que x/log x. La fórmula de Riemann pa π(x) amuesa que'l términu error nesti aproximamientu puede ser espresáu en función de los ceros de la función zeta. Nel so trabayu fecháu en 1859, Riemann fixo la conxetura que tolos ceros "non-triviales" d'atópense allugaos sobre la llinia ${\displaystyle \,\Re (s)=1/2\,}$ pero nunca presentó una demostración d'esta aseveración. Esta famosa y perdurable conxetura conocer pol nome de la Hipótesis de Riemann y tien numberoses implicancias de fuste na teoría de los númberos; n'efeutu, numberosos teoremas de relevancia fueron demostraos considerando'l casu que la hipótesis fora verdadera. Por casu acordies cola Hipótesis de Riemann, el términu error nel teorema del númberu primu ye ${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$.