Aplicaciones

En 1937, Claude Shannon realizó la so tesis doctoral nel MIT, na cual implementaba'l Álxebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores per primer vegada na hestoria. Titulada Un Analís Simbólicu de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó'l diseñu práuticu de circuitos dixitales.

En payares de 1937, George Stibitz, trabayando entós daquella nos Llaboratorios Bell, construyó un ordenador basáu en relés —a la cual moteyó "Modelu K" (porque la construyó nuna cocina, n'inglés "kitchen")— qu'utilizaba la suma binaria pa realizar los cálculos. Los Llaboratorios Bell autorizaron un completu programa d'investigación a finales de 1938, con Stibitz al mandu.

El 8 de xineru de 1940 terminaron el diseñu d'una "Calculadora de Númberos Complexos", que yera capaz de realizar cálculos con númberos complexos. Nuna demostración na conferencia de la Sociedá Estauxunidense de Matemática, el 11 de setiembre de 1940, Stibitz llogró unviar comandos de manera remota a la Calculadora de Númberos Complexos al traviés de la llinia telefónica por aciu un teletipu. Foi la primer máquina ordenador utilizada de manera remota al traviés de la llinia de teléfonu. Dellos participantes de la conferencia que guardaron la demostración fueron John von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, quien escribió alrodiu de dichu sucesu nos sos distintos tipos de memories na cual algamó distintos llogros.

Decimal a binariu

S'estrema el númberu del sistema decimal ente 2, que'l so resultancia entera volver a estremar ente 2, y asina socesivamente hasta que'l dividendu sía menor que'l divisor, 2. Esto ye, cuando'l númberu a estremar sía 1 remata la división.
De siguío ordenar dende l'últimu cociente hasta'l primer restu, a cencielles asítiense n'orde inversu a como apaecen na división. Este va ser el númberu binariu que buscamos.

Exemplu

Tresformar el númberu decimal 131 en binariu. El métodu ye bien simple:

131 estremáu ente 2 da 65 y el residuu ye igual a 1
65 estremáu ente 2 da 32 y el residuu ye igual a 1
32 estremáu ente 2 da 16 y el residuu ye igual a 0
16 estremáu ente 2 da 8 y el residuu ye igual a 0
8 estremáu ente 2 da 4 y el residuu ye igual a 0
4 estremáu ente 2 da 2 y el residuu ye igual a 0
2 estremáu ente 2 da 1 y el residuu ye igual a 0
l'últimu cociente ye 1

-> Ordenamos los residuos, del postreru al primeru: 10000011 En sistema binariu, 131 escríbese 10000011

Exemplu

Tresformar el númberu decimal 100 en binariu.

Otra forma de conversión consiste nun métodu paecíu a la factorización en númberos primos. Ye relativamente fácil estremar cualquier númberu ente 2. Esti métodu consiste tamién en divisiones socesives. Dependiendo de si'l númberu ye par o impar, vamos asitiar un cero o un unu na columna de la derecha. Si ye impar, restarémoslu unu y vamos siguir estremando ente dos, hasta que yá nun sía posible y asítiase el númberu 1. Dempués solo quédanos tomar el postreru resultáu de la columna esquierda y tolos de la columna de la derecha y ordenar los díxitos de baxo a enriba.

Exemplu

100|0
50|0
25|1 --> 1, 25-1=24 y siguimos estremando ente 2
12|0
6|0
3|1
1|1 --> ${\displaystyle (100)_{10}=(1100100)_{2}}$

Exemplu^[3]

Pa convertir al sistema binariu'l númberu decimal 77 vamos faer una serie de divisiones que van refundiar los siguientes resultaos:

77 / 2 = 38 Residuu ==> 1
38 / 2 = 19 Residuu ==> 0 
19 / 2 = 9 Residuu ==> 1
9 / 2 = 4 Residuu ==> 1
4 / 2 = 2 Residuu ==> 0
2 / 2 = 1 Residuu ==> 0
Últimu cociente ==> 1

Agora tomando l'últimu cociente y los residuos n'orde inversu, la resultancia ye: 1001101(binariu)

Esiste un últimu métodu denomináu de distribución. Consiste en distribuyir los unos necesarios ente les potencies socesives de 2 de cuenta que la so suma resulte ser el númberu decimal a convertir. Sía por casu el númberu 151, pal que se van precisar les 8 primeres potencies de 2, una y bones la siguiente, 2⁸=256, ye cimeru al númberu a convertir. Empieza poniéndose un 1 en 128, polo qu'entá van faltar 23, 151-128 = 23, pa llegar al 151. Esti valor va consiguise distribuyendo unos ente les potencies que la so suma dea la resultancia buscada y poniendo ceros nel restu. Nel exemplu resulten ser les potencies 4, 2, 1 y 0, esto ye, 16, 4, 2 y 1, respeutivamente.

Exemplu

2⁰= 1|1
2¹= 2|1
2²= 4|1
2³= 8|0
2⁴= 16|1
2⁵= 32|0
2⁶= 64|0
2⁷= 128|1 ${\displaystyle 128+16+4+2+1=(151)_{10}=(10010111)_{2}}$

Decimal (con decimales) a binariu

Pa tresformar un númberu del sistema decimal al sistema binariu:

1. Tresfórmase la parte entera a binariu. (Si la parte entera ye 0 en binariu va ser 0, si la parte entera ye 1 en binariu va ser 1, si la parte entera ye 5 en binariu va ser 101 y asina socesivamente).
2. Siguir cola parte fraccionaria, multiplicando cada númberu por 2. Si la resultancia llograda ye mayor o igual a 1 anótase como un unu (1) binariu. Si ye menor que 1 anótase como un 0 binariu. (Por casu, al multiplicar 0.6 por 2 llogramos como resultáu 1.2 lo cual indica que la nuesa resultancia ye un unu (1) en binariu, solo tómase la parte decimal de la resultancia).
3. Dempués de realizar cada multiplicación, asítiense los númberos llograos nel orde del so llogru.
4. Dellos númberos tresformar en díxitos periódicos, por casu: el 0.1.

Exemplu 0,3125

(decimal) => 0,0101 (binariu).
Procesu:
0,3125 * 2 = 0,625 => 0
0,625 * 2 = 1,25 => 1
0,25 * 2 = 0,5 => 0
0,5 * 2 = 1 => 1 
N'orde: 0101 -> 0,0101 (binariu)

Exemplu 0,1

(decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binariu). 
Procesu: 
0,1 * 2 = 0,2 ==> 0
0,2 * 2 = 0,4 ==> 0
0,4 * 2 = 0,8 ==> 0
0,8 * 2 = 1,6 ==> 1
0,6 * 2 = 1,2 ==> 1
0,2 * 2 = 0,4 ==> 0 <--repitir los cuatro cifres, dacuando 0,4
* 2 = 0,8 ==> 0 <-
0,8 * 2 = 1,6 ==> 1 <-
0,6 * 2 = 1,2 ==> 1 <- ...
N'orde: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binariu periódicu)

Exemplu^[4]

Convertir 0.2 (decimal) a binariu. 
Procesu: 
0.2 * 2 = 0.4 ==> 0
0.4 * 2 = 0.8 ==> 0
0.8 * 2 = 1.6 ==> 1
0.6 * 2 = 1.2 ==> 1
0.2 * 2 = 0.4 ==> 0

como se repiten los valores indefinidamente, la resultancia ye:

N'orde: 0.001100110011...(decimal)

Exemplu 5.5

= 5,5
5,5 (decimal) => 101,1 (binariu).
Procesu:
5 => 101
0,5 * 2 = 1 => 1
N'orde: 1 (un solu díxitu fraccionariu) -> 101,1 (binariu)

Exemplu 6,83

(decimal) => 110,110101000111 (binariu).
Procesu:
6 => 110
0,83 * 2 = 1,66 => 1
0,66 * 2 = 1,32 => 1
0,32 * 2 = 0,64 => 0
0,64 * 2 = 1,28 => 1
0,28 * 2 = 0,56 => 0
0,56 * 2 = 1,12 => 1
0,12 * 2 = 0,24 => 0
0,24 * 2 = 0,48 => 0
0,48 * 2 = 0,96 => 0
0,96 * 2 = 1,92 => 1
0,92 * 2 = 1,84 => 1
0,84 * 2 = 1,68 => 1
N'orde: 110101000111 (binariu)
Parte entera: 110 (binariu)
Encadenando parte entera y fraccionaria: 110,110101000111 (binariu)

Binariu a decimal

Pa realizar la conversión de binariu a decimal, realice lo siguiente:

1. Empiece pel llau derechu del númberu en binariu. Multiplique cada díxitu por 2 eleváu a la potencia consecutiva (empezando pola potencia 0, 2⁰).
2. Dempués de realizar caúna de les multiplicaciones, sumir toes y el númberu resultante va ser l'equivalente al sistema decimal.

Exemplos:

• (Los númberos allugaos na parte cimera del númberu binariu indiquen la potencia a la qu'hai qu'alzar el númberu 2)

${\displaystyle {\overset {5}{\mathop {1} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+0+1=53}$

${\displaystyle {\overset {7}{\mathop {1} }}\,{\overset {6}{\mathop {0} }}\,{\overset {5}{\mathop {0} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {1} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,_{2}=1\cdot 2^{7}+0\cdot 2^{6}+0\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=128+0+0+16+0+4+2+1=151}$

${\displaystyle {\overset {5}{\mathop {1} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {1} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,_{2}=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=32+16+0+4+2+1=55}$

Tamién puede optase por utilizar los valores que presenta cada posición del númberu binariu a ser tresformáu, empezando de derecha a esquierda, y sumando los valores de les posiciones que tienen un 1.

Exemplu El

númberu binariu 1010010 correspuende en decimal al 82. Puede representase de la siguiente manera:

${\displaystyle {\overset {64}{\mathop {1} }}\,{\overset {32}{\mathop {0} }}\,{\overset {16}{\mathop {1} }}\,{\overset {8}{\mathop {0} }}\,{\overset {4}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,_{2}}$

entós sumir los númberos 64, 16 y 2:

${\displaystyle {\overset {64}{\mathop {1} }}\,{\overset {32}{\mathop {0} }}\,{\overset {16}{\mathop {1} }}\,{\overset {8}{\mathop {0} }}\,{\overset {4}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,_{2}=64+16+2=82}$

Pa camudar de binariu con decimales a decimal faise esautamente igual, sacantes la posición cero (na que'l dos ye alzáu al cero) ye la que ta a la izquierda de la coma y cúntase escontra la derecha a partir de -1:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\overset {5}{\mathop {1} }}\,{\overset {4}{\mathop {1} }}\,{\overset {3}{\mathop {0} }}\,{\overset {2}{\mathop {1} }}\,{\overset {1}{\mathop {0} }}\,{\overset {0}{\mathop {1} }}\,,{\overset {-1}{\mathop {1} }}\,{\overset {-2}{\mathop {0} }}\,{\overset {-3}{\mathop {1} }}\,=1\cdot 2^{5}+1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}+1\cdot 2^{-1}+0\cdot 2^{-2}+1\cdot 2^{-3}=\\&=32+16+0+4+0+1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {0}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}=32+16+0+4+0+1+0,5+0+0,125=53,625\\\end{aligned}}}$

Binariu a decimal (con parte fraccionaria binaria)

1. Empecipie pel llau esquierdu (la primer cifra a la derecha de la coma), cada númberu tendrá de ser multiplicáu por 2 eleváu a la potencia consecutiva a la inversa (empezando pola potencia -1, 2^-1).

2. Dempués de realizar caúna de les multiplicaciones, sume toes y el númberu resultante va ser l'equivalente al sistema decimal.

Exemplos

• 0,101001 (binariu) = 0,640625(decimal). Procesu:

1 * 2 eleváu a -1 = 0,5
0 * 2 eleváu a -2 = 0
1 * 2 eleváu a -3 = 0,125
0 * 2 eleváu a -4 = 0
0 * 2 eleváu a -5 = 0
1 * 2 eleváu a -6 = 0,015625
La suma ye: 0,640625

• 0,110111 (binariu) = 0,859375(decimal). Procesu:

1 * 2 eleváu a -1 = 0,5
1 * 2 eleváu a -2 = 0,25
0 * 2 eleváu a -3 = 0
1 * 2 eleváu a -4 = 0,0625
1 * 2 eleváu a -5 = 0,03125
1 * 2 eleváu a -6 = 0,015625
La suma ye: 0,859375

Adición de númberos binarios

La tabla de sumar pa númberos binarios ye la siguiente:

Les posibles combinaciones al sumar dos bits son:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10

Note que al sumar 1 + 1 ye 10₂, esto ye, llevamos 1 a la siguiente posición de la esquierda (acarretu). Esto ye equivalente nel sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero na posición que tamos sumando y un 1 d'acarretu a la siguiente posición.

Exemplu 1

10011000
+ 00010101
———————————
10101101

Puede convertise la operación binaria nuna operación decimal, resolver la decimal, y dempués tresformar la resultancia nun (númberu) binariu. Operamos como nel sistema decimal: empezamos a sumar dende la derecha, nel nuesu exemplu, 1 + 1 = 10, entós escribimos 0 na fila de la resultancia y llevamos 1 (esti "1" llámase acarretu o arrastre). De siguío súmase l'acarretu a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y siguimos hasta terminar toles columnes (esautamente como en decimal).^[3]

Sustracción de númberos binarios

L'algoritmu de restar en sistema binariu ye'l mesmu que nel sistema decimal. Pero convien repasar la operación de restar en decimal pa entender la operación binaria, que ye más senciella. Los términos qu'intervienen en restar llámense minuendu, sustraendo y diferencia.

Restar básiques 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

• 0 - 0 = 0
• 1 - 0 = 1
• 1 - 1 = 0
• 0 - 1 = 1 (tresformar en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equival a 2 - 1 = 1)

Restar 0 - 1 resuélvese igual que nel sistema decimal, tomando una unidá emprestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y llevo 1 (esti valor restar al resultáu que llogre, ente'l minuendu y el sustraendo de la siguiente columna), lo qu'equival a dicir nel sistema decimal, 2 - 1 = 1.

Exemplos

10001 11011001 
-01010 -10101011
—————— —————————
00111 00101110

En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.

Pa simplificar restar y amenorgar la posibilidá de cometer errores hai dellos métodos:

• Estremar los númberos llargos en grupos. Nel siguiente exemplu, vemos cómo s'estrema una resta llarga en trés restes curties:

100110011101 1001 1001 1101
-010101110010 -0101 -0111 -0010
————————————— = ————— ————— —————
010000101011 0100 0010 1011

• Utilizando'l complementu a dos (C2). Restar de dos númberos binarios puede llograse sumando al minuendu'l complementu a dos» del sustraendo.

Exemplu

La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binariu ye:

1011011 1011011
-0101110 el C2 de 0101110 ye 1010010 +1010010
———————— ————————
0101101 10101101

Na resultancia sóbranos un bit, que s'enche pela esquierda. Pero, como'l númberu resultante nun puede ser más llargu que'l minuendu, el bit sobrante despréciase.

Un últimu exemplu: vamos restar 219 - 23 = 196, direutamente y utilizando'l complementu a dos:

11011011 11011011
-00010111 el C2 de 00010111 ye 11101001 +11101001
————————— —————————
11000100 111000100

Y, despreciando'l bit que s'enche pela esquierda, llegamos al resultáu correutu: 11000100 en binariu, 196 en decimal.

• Utilizando'l complementu a unu. Restar de dos númberos binarios puede llograse sumando al minuendu'l complementu a unu del sustraendo y de la mesma suma-y el bit que s'enche.

Productu de númberos binarios

La tabla de multiplicar pa númberos binarios ye la siguiente:

L'algoritmu del producto en binariu ye igual qu'en númberos decimales; anque se lleva a cabu con más cencellez, una y bones el 0 multiplicáu por cualesquier númberu da 0, y el 1 ye'l elementu neutru del productu.

Por casu, multipliquemos 10110 por 1001:

10110 
x 1001 
————————— 
10110 
00000 
00000 
10110 
————————— 
11000110

En sistemes electrónicos, onde suelen usase númberos mayores, utilízase'l métodu llamáu algoritmu de Booth.

11101111
x 111011
__________
11101111
11101111
00000000
11101111
11101111
11101111
______________
11011100010101

División de númberos binarios

La división en binariu ye similar a la decimal; la única diferencia ye qu'a la de faer restar, dientro de la división, estes tienen de ser realizaes en binariu.

Exemplu

Estremar 100010010 (274) ente 1101 (13):

100010010 /1101 = 010101
-0000 
———————
10001
-1101
———————
01000
- 0000
———————
10000
- 1101
———————
00111
- 0000
———————
01110
- 1101
———————
00001

Sistema binariu a octal

Por cuenta de que el sistema octal tien como base 8, que ye la tercer potencia de 2, y que dos ye la base del sistema binariu, ye posible establecer un métodu direutu pa convertir de basar dos a basar ocho, ensin tener que convertir de binariu a decimal y depués de decimal a octal. Esti métodu descríbese de siguío:

Pa realizar la conversión de binariu a octal, realice lo siguiente:

1) Arrexunte la cantidá binaria en grupos de 3 en 3 empecipiando pel llau derechu. Si al terminar d'arrexuntar nun completa 3 díxitos, entós amieste ceros a la izquierda.

2) Darréu vea'l valor que correspuende d'alcuerdu a la tabla:

3) La cantidá correspondiente en octal arrexuntar d'esquierda a derecha.

Exemplos

• 110111 (binariu) = 67 (octal). Procesu:

111 = 7
110 = 6
Arrexunte d'esquierda a derecha: 67

• 11001111 (binariu) = 317 (octal). Procesu:

111 = 7
001 = 1
11 entós amieste un cero, colo que se llogra 011 = 3
Arrexunte d'esquierda a derecha: 317

• 1000011 (binariu) = 103 (octal). Procesu:

011 = 3
000 = 0
1 entós amieste 001 = 1
Arrexunte d'esquierda a derecha: 103

Si'l númberu binariu tien parte decimal, arrexuntar de trés en trés dende'l puntu decimal escontra la derecha siguiendo los mesmos criterios establecíos enantes pa númberos enteros. Por casu:

0.01101 (binariu) = 0.32 (octal) Procesu: 011 = 3 01 entós amieste 010 = 2 Arrexunte d'esquierda a derecha: 32 Amieste la parte entera: 0.32

Octal a binariu

Cada díxitu octal convertir nel so binariu equivalente de 3 bits y xúntense nel mesmu orde.

Exemplu *

247 (octal) = 010100111 (binariu). El 2 en binariu ye 10, pero en binariu de 3 bits ye Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), depués el númberu en binariu va ser 010100111.

Binariu a hexadecimal

Pa realizar la conversión de binariu a hexadecimal, realice lo siguiente:

1) Arrexunte la cantidá binaria en grupos de 4 en 4 empecipiando pel llau derechu. Si al terminar d'arrexuntar nun completa 4 díxitos, entós amieste ceros a la izquierda.

2) Darréu vea'l valor que correspuende d'alcuerdu a la tabla:

3) La cantidá correspondiente n'hexadecimal arrexuntar de derecha a esquierda.

Exemplos

• 110111010 (binariu) = 1BA (hexadecimal). Procesu:

1010 = A 1011
= B
1 entós amieste 0001 = 1
Arrexunte de derecha a esquierda: 1BA

• 11011110101 (binariu) = 6F5 (hexadecimal). Procesu:

0101 = 5
1111 = F
110 entós amieste 0110 = 6
Arrexunte de derecha a esquierda: 6F5

Hexadecimal a binariu

Note que pa pasar de Hexadecimal a binariu, se remplaza el númberu Hexadecimal pol equivalente de 4 bits, de forma similar a como se fai de octal a binariu.